当劳动合同到期超过半个月未签时，劳动者和用人单位都需要根据相关法律法规来明确各自的权利和责任，并据此采取相应的措施。以下是对这一问题的详细解答：
一、合同状态与续签
合同终止与事实劳动关系：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条，劳动合同期满即终止。但若双方继续用工而未续签合同，则视为建立了事实劳动关系。
续签协商：
- 尽管原合同已终止，双方仍可就续签事宜进行协商。若达成一致，应尽快签订新的劳动合同，明确新的合同条款和期限。
二、经济补偿与责任
经济补偿金：
- 如果用人单位提出不续签，或降低原劳动合同条件导致劳动者不同意续签，用人单位应支付经济补偿金。
- 经济补偿金的计算标准：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
未及时续签的责任：
- 若用人单位在劳动合同期满后继续用工但未及时续签，可能面临支付双倍工资差额的风险（具体依据地方规定）。
- 劳动者有权要求用人单位补订书面劳动合同，并主张未签订劳动合同期间的双倍工资差额（如适用）。
双倍工资差额的计算：
- 起算时间：自原合同期满次日起。
- 截止时间：至补签合同前一日或劳动关系解除时（最长不超过11个月）。
- 计算基数：按实际应得工资计算，包括计时/计件工资、奖金、津贴等货币性收入。
三、实际处理建议
沟通协商：
- 双方应首先就续签事宜进行沟通协商，明确各自的意愿和需求。
办理手续：
- 若决定不再续签，用人单位应及时为劳动者办理离职手续，包括工作交接、工资结算等。
- 若决定续签，应尽快签订新的劳动合同，并确保合同条款合法合规。
保留证据：
- 在处理过程中，双方应妥善保留相关证据，如沟通记录、工资条、考勤记录等，以备不时之需。这些证据在后续可能的劳动争议仲裁或诉讼中将起到关键作用。
法律途径：
- 如果双方无法就续签事宜达成一致或产生争议，可以寻求劳动仲裁委员会或法院的帮助来维护自己的合法权益。劳动者可以向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动仲裁委提交申请书，并提供相关证据材料。
四、特殊场景与注意事项
无固定期限合同争议：
- 若劳动者符合签订无固定期限合同的条件（如连续两次固定期限合同、满十年工龄等），而用人单位拒绝签订，则除双倍工资外，用人单位还需承担违法解除责任。
高管人员适用规则：
- 高级管理人员在主张赔偿时，需举证证明曾主动要求签订合同而遭拒，否则可能被视为存在管理失职，影响赔偿主张。
诉讼时效：
- 劳动者主张双倍工资差额受1年仲裁时效限制，逾期将丧失胜诉权。因此，劳动者应及时行动，维护自己的合法权益。
理性选择与专业支持：
- 在处理劳动争议时，劳动者应权衡诉讼成本与收益，对小额争议可考虑调解解决。对于复杂案件，建议委托劳动法律师代理，以确保程序合规性并提高胜诉率。
综上所述，当劳动合同到期超过半个月未签时，劳动者和用人单位应根据相关法律法规明确各自的权利和责任，并通过沟通协商、办理手续、保留证据和法律途径等方式来妥善处理这一问题。