结论：您可以报案，但能否立案及后续处理需根据具体情况判断。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律性质分析
鸭子属于您的个人财产
根据《民法典》第二百四十条，您通过购买行为合法取得鸭子的所有权，其属于您的个人财产。他人未经允许捡走鸭子，涉嫌侵犯您的财产权。
可能涉及的法律关系
- 不当得利：若捡拾者明知鸭子是您丢失的仍据为己有，可能构成不当得利（《民法典》第九百八十五条）。
- 侵占罪（刑事角度）：若鸭子价值较高（通常需达到当地盗窃罪的立案标准，如数千元），且捡拾者拒不归还，可能涉嫌侵占罪（《刑法》第二百七十条）。但需注意，侵占罪一般需您自行向法院提起刑事自诉。
- 治安管理处罚：即使不构成犯罪，捡拾者的行为也可能违反《治安管理处罚法》第四十九条（盗窃、诈骗、哄抢、抢夺、敲诈勒索或故意损毁公私财物），可处五日以上十日以下拘留，并处罚款。
二、报案后的处理流程
公安机关受理条件
- 证据充分性：您需提供购买凭证（如付款记录、收据）、鸭子特征描述、丢失地点及时间等证据，证明鸭子属于您且被他人捡走。
- 价值评估：若鸭子价值较低（如普通家鸭市场价几十元），公安机关可能按治安案件处理；若价值较高，可能进一步调查是否构成犯罪。
- 对方行为性质：若捡拾者主动联系您索要“感谢费”或拒不归还，更可能被认定为恶意侵占。
公安机关可能采取的措施
- 调解：若对方承认捡拾并愿意归还，公安机关可能组织调解，要求对方返还鸭子或赔偿损失。
- 立案侦查：若证据充分且涉嫌犯罪，公安机关会立案侦查，追查鸭子下落并追究对方责任。
- 不予立案：若证据不足或价值过低，公安机关可能出具《不予立案通知书》，您可自行向法院提起民事诉讼要求返还或赔偿。
三、您的行动建议
立即报案
- 携带购买凭证、丢失地点监控录像（如有）、目击者联系方式等证据，到事发地派出所报案。
- 强调鸭子对您的特殊意义（如宠物、具有情感价值），可能影响公安机关对案件性质的判断。
补充证据
- 若丢失地点有监控，申请公安机关调取录像固定证据。
- 在社交媒体或社区发布寻物启事，保留发布记录作为对方“明知”的证据。
民事诉讼准备
- 若公安机关不予立案，您可向法院提起民事诉讼，要求对方返还鸭子或赔偿损失（《民法典》第二百三十八条）。
- 诉讼中需证明鸭子所有权、丢失事实及对方捡拾行为（如对方承认的聊天记录、证人证言等）。
四、特殊情况说明
- 若鸭子已死亡或被转卖：您仍可要求对方赔偿鸭子市场价值或转卖所得款项。
- 若对方拒不承认：需依赖监控、证人等间接证据形成完整证据链，否则可能面临举证困难。
总结：报案是维护权益的合理途径，但最终处理结果取决于证据充分性、鸭子价值及对方行为性质。建议您优先通过报案和补充证据争取公安机关介入，若效果不佳再考虑民事诉讼。如有进一步疑问，可直接向我咨询。