结论：公司员工工作期间出现交通事故，公司和肇事司机的责任承担需分情况讨论，主要取决于员工是否为职务行为以及事故责任认定，具体如下：

1. 员工因执行工作任务发生交通事故，且员工无责或次责
   根据《民法典》第1191条，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。

   • 公司责任：若员工在工作时间、工作场所内，或因工作需要外出（如送货、拜访客户等）发生事故，且经交警认定员工无责或次责，公司需对第三方（如其他车辆、行人）的损失承担赔偿责任。
     
   • 肇事司机责任：若事故由第三方司机（如对方车辆）全责或主责，则该司机需根据责任比例赔偿员工（如医疗费、误工费等）及公司财产损失（如车辆维修费）。
     

2. 员工因执行工作任务发生交通事故，且员工主责或全责

   • 公司责任：公司仍需对第三方损失承担赔偿责任，但可向员工追偿（若员工存在故意或重大过失）。例如，员工酒驾、超速等严重违反交通规则的行为，公司赔偿后可要求员工承担部分或全部损失。
     
   • 肇事司机责任：若员工全责，第三方无责，则肇事司机无需赔偿；若员工主责，第三方次责，则员工需承担主要赔偿，第三方按比例赔偿。
     

3. 员工非因执行工作任务发生交通事故（如私自外出）

   • 公司责任：公司无需承担赔偿责任，员工需自行承担事故责任（包括对第三方和自身的损失）。
     
   • 肇事司机责任：根据事故责任认定，由肇事司机或员工按比例赔偿。
     

补充说明：

• 工伤认定：若员工在事故中受伤，无论是否承担交通责任，均可申请工伤认定（《工伤保险条例》第14条），由工伤保险基金或公司支付医疗费、伤残补助等。
  
• 保险理赔：公司车辆若投保交强险和商业险，可由保险公司先行赔付第三方损失，不足部分由公司或员工补充。
  

建议：

1. 立即报警并保留事故认定书，明确责任比例；
   
2. 区分员工是否为职务行为，收集工作记录、出差证明等证据；
   
3. 及时通知保险公司，避免理赔纠纷；
   
4. 若涉及重大损失或责任争议，建议委托律师介入处理。
   

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体细节。