当公司决定解除与员工的劳动关系时，根据《中华人民共和国劳动法》及相关法律法规，赔偿方式和标准会因辞退原因及具体情况的不同而有所差异。以下是对此问题的详细解答：
一、公司无需支付赔偿的情形（合法解除劳动关系）
试用期不符合录用条件：
- 若员工在试用期内被证明不符合公司明确的录用条件，且公司有充分证据支持，那么公司可以解除劳动合同而无需支付赔偿。
严重违反规章制度：
- 如果员工严重违反了公司经民主程序制定并已公示的规章制度，公司同样有权解除合同且无需赔偿。
严重失职、营私舞弊：
- 员工因严重失职或营私舞弊行为给公司造成重大损害的，公司可以解除合同且不承担赔偿责任。
双重劳动关系影响工作：
- 若员工与其他用人单位建立劳动关系，且这一行为严重影响本职工作或经公司提出后拒不改正，公司可以解除合同。
劳动合同无效：
- 员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危使劳动合同无效的，公司有权解除合同。
被依法追究刑事责任：
二、公司需支付经济补偿的情形
协商一致解除劳动合同：
- 如果公司提出并与员工协商一致解除劳动合同，公司应按照员工在本单位的工作年限支付经济补偿。每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。月工资是指员工在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
无过错性辞退：
- 员工因患病或非因工负伤，在医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作；
- 员工不能胜任工作，经过培训或调整岗位后仍不能胜任；
- 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，导致合同无法履行，且双方未能协商变更合同内容。
- 在这些情况下，公司需提前三十日书面通知员工或额外支付一个月工资后解除合同，并按上述标准支付经济补偿。
经济性裁员：
- 公司因经济性原因（如经营困难）需要裁员时，同样需要按照上述标准支付经济补偿。
三、公司需支付赔偿金的情形（违法解除劳动关系）
- 如果公司违反法律规定解除或终止劳动合同，应依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。赔偿金计算中的月工资同样是指员工在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若员工月平均工资高于当地职工月平均工资三倍的，按三倍数额支付，且最高不超过十二年。
四、特别说明与注意事项
月工资的计算：
- 月工资包括员工应发的所有工资性收入，如基本工资、奖金、津贴等。
搬迁等客观情况变化：
- 如果公司搬迁导致劳动合同无法履行，且未能与员工协商变更合同内容而辞退员工，公司需支付经济补偿。若搬迁不影响合同履行而公司违法辞退，则需支付赔偿金。
证据收集与维权：
- 员工应保存好劳动合同、工资条、考勤记录等证据，以便在维权时使用。
时效限制：
- 员工对赔偿金额有争议时，应在知道权利被侵害之日起一年内提出劳动仲裁申请。
法律途径：
- 若双方无法就赔偿金额达成一致，员工可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径解决争议。
综上所述，公司在解除劳动合同时必须严格遵守相关法律法规，根据具体情况判断是否需要支付经济补偿或赔偿金。员工也应了解自己的权益和维权途径，以便在必要时维护自己的合法权益。