当发现员工严重违反公司规章制度时，作为用人单位，需要采取一系列严谨且合法的步骤来处理这一问题，以确保既维护公司秩序，又保障员工权益，同时避免法律风险。以下是一个详细的处理流程：

一、确认规章制度的合法性与公示性

首先，要确保公司的规章制度是通过民主程序制定的，内容不违反国家法律、行政法规及政策规定，并且已经向所有员工进行了公示或告知。这是处理违规行为的前提和基础，因为只有合法且公示的规章制度才能作为处理的依据。

二、界定“严重违纪”行为

接下来，需要明确界定何为“严重违反规章制度”的行为。这通常要求规章制度中有明确的规定，并且劳动者的行为确实达到了这一严重程度。例如，规章制度中可能明确规定了打架斗殴、盗窃公司财物、泄露商业秘密等行为属于严重违纪。在处理时，要收集充分的证据来证明劳动者的行为确实违反了这些规定。

三、遵循法定程序处理

在确认员工严重违纪后，用人单位需要遵循法定程序来处理这一问题。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在单方解除劳动合同时，应当事先将理由通知工会，并听取工会的意见。如果公司没有建立工会，那么需要通知所在地的工会。这一程序是不可或缺的，它体现了对员工权益的尊重和保护。

四、出具解除劳动合同证明

在解除劳动合同时，用人单位需要向劳动者出具解除劳动合同的证明，明确解除的时间、依据和理由等内容。这是法律规定的义务，也是保障劳动者权益的重要措施。同时，用人单位还需要将处理结果书面通知工会，以体现程序的合法性和透明性。

五、承担举证责任

在整个处理过程中，用人单位需要承担举证责任，证明劳动者的行为确实严重违反了规章制度。这要求用人单位在收集证据时要做到全面、客观、公正，确保证据的真实性和有效性。如果用人单位无法提供充分的证据来支持其决定，那么可能会面临违法解除劳动合同的法律后果。

六、考虑法律后果与风险防范

最后，用人单位在处理员工严重违纪行为时，还需要考虑法律后果和风险防范。如果用人单位违法解除劳动合同，劳动者有权要求用人单位继续履行劳动合同或支付赔偿金。因此，用人单位在做出决定前要谨慎评估风险，确保所有步骤都合法、合理，并且有充分的证据支持其决定。

实际案例参考

以您提供的案例为例，李某在车间内与工友发生争执并扭打，严重违反了甲公司的规章制度。甲公司在处理此事时，遵循了上述步骤：首先确认了规章制度的合法性与公示性；其次界定了李某的行为为严重违纪；然后遵循了法定程序，征询了工会的意见；接着出具了解除劳动合同的证明；并承担了举证责任，提供了充分的证据来证明李某的行为确实违反了规章制度。最终，法院认定甲公司单方解除劳动关系合法，驳回了李某的诉讼请求。

综上所述，当发现员工严重违反公司规章制度时，用人单位需要采取一系列严谨且合法的步骤来处理这一问题。这既是对公司秩序的维护，也是对员工权益的保障，更是避免法律风险的重要措施。