结论：私自倾倒垃圾，公安机关在特定情况下是有权进行处罚的，但具体处罚权及处罚方式需依据垃圾倾倒的性质、地点及造成的后果等因素综合判断。

分析说明：

1. 一般情况下的处罚权：

   • 私自倾倒垃圾，若该行为违反了《中华人民共和国固体废物污染环境防治法》等相关法律法规，且未构成犯罪，通常由生态环境主管部门或者城市管理部门等行政机关负责处罚，如责令改正、罚款等。
   • 公安机关在一般情况下，并不直接对私自倾倒垃圾的行为进行处罚，除非该行为同时违反了治安管理处罚法或构成犯罪。

2. 特定情况下的处罚权：

   • 如果私自倾倒垃圾的行为严重扰乱了公共秩序，或者倾倒的垃圾属于危险废物、有毒有害物质等，可能对公共安全造成威胁，那么该行为可能同时违反了《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定。
   • 在这种情况下，公安机关有权依据治安管理处罚法对违法行为人进行处罚，如警告、罚款、拘留等。
   • 若私自倾倒垃圾的行为构成犯罪，如污染环境罪，那么公安机关将依法进行刑事立案侦查，并移送检察机关审查起诉。

3. 处罚的法律依据：

   • 《中华人民共和国固体废物污染环境防治法》规定了固体废物污染环境的防治责任、管理制度及法律责任，是处理私自倾倒垃圾行为的主要法律依据。
   • 《中华人民共和国治安管理处罚法》则规定了扰乱公共秩序、妨害公共安全等行为的处罚措施，为公安机关在特定情况下处罚私自倾倒垃圾行为提供了法律依据。

法律建议：

• 对于私自倾倒垃圾的行为，建议首先了解当地的具体环保法规和政策，明确倾倒垃圾的性质和地点是否符合规定。
• 如果行为确实违反了相关法律法规，应主动接受相关行政机关的处罚，并积极采取措施改正错误，避免造成更严重的后果。
• 若对处罚决定有异议，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼，维护自己的合法权益。

后续行动：

• 如果您或他人遇到了私自倾倒垃圾被公安机关处罚的情况，且对处罚决定有疑问或不满，可以直接向我咨询，我将根据具体情况为您提供专业的法律意见和帮助。
• 同时，也建议您在日常生活中遵守环保法规，共同维护我们的环境安全和社会秩序。