针对“公路旁倾倒垃圾怎么处罚”的问题，以下是根据相关法律法规和案例提供的详细解答：

首先，必须明确的是，在公路及公路用地范围内倾倒垃圾是违法行为。这一行为违反了《中华人民共和国公路法》的相关规定，具体为第四十六条，该条款明确指出任何单位和个人不得在公路上及公路用地范围内倾倒垃圾等损坏、污染公路和影响公路畅通的活动。

对于此类违法行为，交通主管部门将依法进行处罚。根据《中华人民共和国公路法》第七十七条的规定，违反第四十六条的规定，造成公路路面损坏、污染或者影响公路畅通的，由交通主管部门责令停止违法行为，并可以处五千元以下的罚款。

以实际案例为例，德宏州交通运输综合行政执法支队梁河大队曾处理过一起在公路边倾倒建筑垃圾的违法行为。执法人员在接到群众举报后，立即赴现场勘验，并找到当事人。在对其进行宣传教育并指出该行为的违法性后，当事人承认错误并承诺及时清运转移废弃物。最终，鉴于当事人积极配合、认错态度良好，并及时消除了违法后果且未造成严重危害，执法人员依据相关法律法规对其从轻作出了行政处罚。

综上所述，对于在公路旁倾倒垃圾的行为，交通主管部门将依法责令停止违法行为，并可以根据具体情况处以五千元以下的罚款。因此，建议广大市民和单位严格遵守相关法律法规，不要在公路及公路用地范围内倾倒垃圾，共同维护公路的整洁和畅通。