核心结论：
- 打人者是否构成妨碍公务罪，需视具体情况而定，关键在于教师是否在依法执行公务，以及打人者的行为是否阻碍了公务执行。
- 若教师行为不构成执行公务，则打人者可能不构成妨碍公务罪，但可能构成其他犯罪，如故意伤害罪。
法律分析：
首先，我们需要明确妨碍公务罪的构成要件。根据《中华人民共和国刑法》第二百七十七条的规定，妨碍公务罪是指以暴力、威胁方法阻碍国家机关工作人员依法执行职务的行为。这里的关键点在于：一是行为对象必须是国家机关工作人员；二是这些工作人员必须是在依法执行职务；三是行为人必须使用了暴力或威胁的方法。
关于教师是否属于国家机关工作人员：
- 在一般情况下，教师并不直接属于国家机关工作人员。但是，如果教师是在执行教育局组织的体育赛事，且这一赛事是教育局作为国家机关依法组织或管理的公务活动的一部分，那么教师在这一特定情境下可以被视为是在协助国家机关执行公务。
关于教师是否在依法执行公务：
- 这需要具体分析教师所执行的任务是否属于教育局的法定职责范围，以及教师是否是在按照教育局的指示和要求执行任务。如果教师是在执行与体育赛事相关的、且属于教育局法定职责范围内的任务，那么可以认为教师是在依法执行公务。
关于打人者的行为是否阻碍了公务执行：
- 如果打人者使用了暴力或威胁的方法，且这些行为直接阻碍了教师依法执行公务，那么打人者的行为就可能构成妨碍公务罪。
特殊情况与建议：
如果教师行为不构成执行公务：
- 如果教师所执行的任务并不属于教育局的法定职责范围，或者教师并不是在按照教育局的指示和要求执行任务，那么教师的行为可能不构成执行公务。在这种情况下，打人者的行为虽然仍然可能违法，但可能不构成妨碍公务罪，而是可能构成其他犯罪，如故意伤害罪。
建议：
- 对于此类案件，建议首先收集相关证据，包括现场视频、证人证言、医疗记录等，以证明打人者的行为以及教师是否在执行公务。
- 然后，根据具体情况向公安机关报案，并寻求法律援助或咨询专业律师（即我，任家慷律师，专注于刑事辩护等领域），以便更准确地判断案件性质并采取相应的法律措施。
总结与进一步思考：
- 妨碍公务罪的构成需要满足多个条件，包括行为对象、执行职务的合法性以及行为方式等。
- 在处理此类案件时，应充分考虑各种因素，包括教师的身份、所执行的任务性质以及打人者的行为方式等。
- 如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律意见。