判决书下达后是否可以申请监外执行，需分情况讨论，具体如下：

1. 若判决已生效且刑罚执行开始
   根据《刑事诉讼法》第265条，监外执行的适用需满足以下条件之一：

   • 罪犯有严重疾病需保外就医；
     
   • 罪犯怀孕或正在哺乳自己婴儿；
     
   • 罪犯生活不能自理，适用暂予监外执行不致危害社会。
     关键点：需在刑罚执行期间提出申请，且需由执行机关（如监狱或看守所）向省级以上监狱管理机关或设区的市一级以上公安机关批准。若判决已生效且刑罚已开始执行（如罪犯已入狱），仍可依法申请，但需符合上述法定条件。

2. 若判决已生效但刑罚尚未开始执行
   若罪犯尚未被交付监狱执行刑罚（如处于看守所羁押阶段），理论上仍可申请监外执行，但需满足同一法定条件。实践中，此阶段申请监外执行的案例较少，因羁押场所通常会对罪犯健康状况进行初步评估，若符合条件可能已提前处理。

3. 若判决未生效（如处于上诉、抗诉期）
   此时判决不具有法律效力，刑罚尚未确定，不存在“监外执行”的申请问题。需等待二审判决生效后，再根据刑罚执行情况判断是否符合申请条件。

操作建议：

• 立即联系执行机关（如监狱或看守所）提交书面申请，并附医院诊断证明、病历等材料；
  
• 若被拒绝，可向省级监狱管理机关或公安机关申请复议；
  
• 监外执行决定需公开公示，接受社会监督，若发现不符合条件，任何单位或个人可提出书面异议。
  

风险提示：
监外执行不意味着刑罚消灭，若罪犯病情好转或哺乳期结束，需及时收监执行剩余刑期。若以非法手段骗取监外执行，可能构成脱逃罪。

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作流程或证据准备要点。