在处理私人雇佣厨师发生意外的情况时，我们首先要明确的是，这涉及到个人之间形成的劳务关系，以及在此关系中因劳务活动导致的损害赔偿责任划分问题。以下是根据相关法律和案例，为您提供的详细解答：
一、法律基础
根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十二条的规定，个人之间形成劳务关系时，如果提供劳务一方因劳务受到损害，那么根据双方各自的过错来承担相应的责任。这意味着，无论是雇主还是雇员，如果存在过错，都可能需要为损害结果承担一定的责任。
二、责任划分原则
雇主的责任：
- 雇主作为接受劳务的一方，有义务为雇员提供安全的工作环境。
- 雇主应进行必要的岗前安全告知与培训，确保雇员了解工作过程中的潜在风险及应对措施。
- 雇主应对现场工作流程进行合理组织与管理，以防范可预见的风险。
- 如果雇主未尽到上述义务，导致雇员在提供劳务过程中受到损害，雇主应承担相应的赔偿责任。
雇员的责任：
- 雇员作为完全民事行为能力人，在提供劳务过程中应主动关注工作环境中的潜在风险。
- 雇员应遵守用工单位的合理工作规范，对自身安全尽到审慎注意责任。
- 如果雇员因自身疏忽或故意行为导致损害发生，雇员应自行承担相应的责任。
三、具体处理步骤
立即救治：
- 在意外发生后，首要任务是确保受伤厨师得到及时救治。雇主应立即将厨师送往医院，并承担相应的医疗费用。
收集证据：
- 雇主和厨师应共同收集与意外相关的证据，如现场照片、视频、证人证言等，以便后续确定责任比例。
协商赔偿：
- 在厨师伤情稳定后，雇主和厨师可以就赔偿问题进行协商。根据双方的过错程度，协商确定各自应承担的责任比例及赔偿金额。
法律途径：
- 如果协商无果，厨师可以选择通过法律途径维护自己的权益。他可以向法院提起诉讼，要求雇主承担相应的赔偿责任。法院将根据双方提供的证据和法律规定，判决各自应承担的责任比例及赔偿金额。
四、案例参考
以您提供的案例为例，无论是酒店兼职员工受伤还是个人名义雇佣干活受伤的情况，法院在判决时都遵循了过错责任原则。即根据双方的过错程度来确定责任比例和赔偿金额。这为我们处理私人雇佣厨师发生意外的情况提供了有益的参考。
五、建议
- 雇主方面：建议雇主在雇佣厨师前，明确双方的权利和义务，包括工作范围、安全责任等。同时，为厨师提供必要的安全培训和防护措施，确保工作过程中的安全。
- 厨师方面：建议厨师在提供劳务过程中，时刻关注工作环境中的潜在风险，遵守工作规范，确保自身安全。如果发现安全隐患或雇主未尽到安全保障义务，应及时提出并寻求解决方案。
综上所述，处理私人雇佣厨师发生意外的情况时，我们应遵循法律基础、责任划分原则，并采取具体的处理步骤。同时，参考相关案例和建议，以确保双方的权益得到妥善保障。