结论前置：私人超市作为用人单位，不与员工签订劳动合同是违法的。

详细分析如下：

一、法律要求

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定，建立劳动关系时，用人单位与劳动者应当订立书面劳动合同。这一规定明确了劳动合同的必要性，旨在保护劳动者的合法权益，明确双方的权利和义务。对于私人超市而言，作为个体经济组织的一种，同样属于法律规定的用人单位范畴，因此必须依法与员工签订劳动合同。

二、未签订劳动合同的法律责任

1. 双倍工资责任：如果私人超市自用工之日起超过一个月但不满一年未与员工订立书面劳动合同，那么应当向员工每月支付二倍的工资作为赔偿。这一规定旨在惩罚用人单位的违法行为，并保护劳动者的合法权益。

2. 视为无固定期限劳动合同：如果私人超市自用工之日起满一年仍未与员工订立书面劳动合同，那么法律将视为双方已订立了无固定期限劳动合同。这意味着，即使双方没有书面的合同文本，用人单位也不能随意解除与劳动者的劳动关系，且需承担与正式合同相同的法律责任。

三、实际影响与建议

1. 实际影响：

   • 劳动者权益受损：未签订劳动合同可能导致劳动者在社保缴纳、工龄计算、工伤赔偿等方面面临困难。
   • 用人单位风险增加：未签订劳动合同不仅可能面临法律处罚，还可能因劳动者维权而引发劳动争议，影响超市的正常运营。

2. 建议：

   • 及时签订劳动合同：私人超市应在用工之初就及时与员工签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
   • 加强法律意识：超市管理层应加强法律意识，了解并遵守相关法律法规，确保合规经营。
   • 完善内部管理：建立健全的劳动合同管理制度，确保劳动合同的签订、履行、变更、解除等环节都符合法律规定。

四、特殊情况说明

如果私人超市与员工之间已经形成了事实劳动关系（即员工已经实际为超市提供劳动，超市也接受了这种劳动），但未签订书面劳动合同，这并不影响劳动关系的存在。在这种情况下，超市仍然需要承担用人单位的法律责任，包括支付劳动报酬、缴纳社会保险等。

总结与启示：

私人超市不与员工签订劳动合同是违法的，不仅可能面临法律处罚，还可能损害劳动者的合法权益和超市的正常运营。因此，作为用人单位，私人超市应严格遵守相关法律法规，及时与员工签订书面劳动合同，确保合规经营。如果您在劳动合同方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。