核心结论：开车压死一只鸡的处理方式需分情况讨论，主要取决于鸡的归属、事故发生地点及是否存在主观过错等因素。以下是具体分析：

1. 若鸡属于私人所有（如农户散养鸡）

   • 民事赔偿角度：根据《民法典》第1165条，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。若您因疏忽（如未观察路况）导致压死鸡，需按市场价格赔偿鸡的价值（需保留购买凭证或评估价值）。
     
   • 协商优先：建议立即停车与鸡主人沟通，说明情况并协商赔偿金额。若对方要求过高，可要求提供鸡的价值证明（如购买发票、养殖成本证据），或通过村委会、派出所调解。
     
   • 例外情形：若鸡突然冲入车道导致无法避让（如无主鸡或野生动物），且您已尽到合理注意义务（如正常车速、无分心驾驶），可能无需赔偿，但需保留行车记录仪等证据。

2. 若事故发生在公共道路（如乡村公路）

   • 交通法规角度：根据《道路交通安全法》，车辆与牲畜发生碰撞属于交通事故范畴。若鸡主人未尽到管理义务（如未拴养、放任鸡上路），可能需承担部分责任。
     
   • 处理流程：
     
     • 立即停车并报警，由交警出具事故认定书；
       
     • 若鸡主人在场，协商赔偿；若无人认领，可联系当地村委会或派出所协助处理；
       
     • 避免直接驶离，否则可能被认定为“肇事逃逸”，面临行政处罚。

3. 若鸡属于养殖场或规模化饲养

   • 合同或管理责任：若事故发生在养殖场周边道路，且养殖场未设置警示标志或防护措施（如围栏），养殖场可能需承担管理责任。
     
   • 赔偿范围：除鸡的价值外，若压死鸡导致养殖场其他损失（如疾病传播风险），可能需赔偿间接损失，但需对方举证。

行动建议：

• 保留证据：拍照记录现场、鸡的尸体、周围环境（如是否有围栏）；若车辆有损伤，一并拍照。
  
• 及时沟通：优先与鸡主人协商，避免矛盾升级；若协商无果，可寻求第三方调解或通过法律途径解决。
  
• 预防措施：驾驶时注意观察路况，尤其在乡村或养殖区附近减速慢行，减少类似风险。

如有其他细节需要补充（如事故地点、鸡的归属等），可进一步说明，我会为您分析具体法律责任。