针对您提出的“卫生事业单位在编人员1999年离职时没有办离职手续，现在能不能补办离职手续”的问题，以下是我的详细解答：

首先，需要明确的是，虽然《人事争议处理规定》中并未直接对补办离职手续的时效做出明确规定，但离职手续的办理是用人单位与劳动者解除或终止劳动关系时的重要环节，它关乎到劳动者的权益保障以及后续再就业、社保转移等事宜。

对于您1999年离职时未办理离职手续的情况，虽然时间已经过去很久，但理论上仍然存在补办的可能性。不过，实际操作中可能会面临一些困难和挑战，具体如下：

1. 单位配合度：

   • 您需要联系原卫生事业单位，说明情况并请求补办离职手续。单位的态度和配合度将是关键因素。如果单位愿意配合，那么补办手续的过程可能会相对顺利。
   • 如果单位以各种理由拒绝或拖延，您可能需要考虑通过法律途径来维护自己的权益。

2. 证据收集：

   • 在补办离职手续的过程中，您可能需要提供一些证据来证明您与原单位之间存在劳动关系以及离职的事实。这些证据可能包括工作证、工资单、同事证言等。
   • 由于时间久远，这些证据的收集可能会比较困难，但您可以尽力尝试。

3. 法律途径：

   • 如果单位拒绝补办离职手续，并且给您造成了实际损失（如影响再就业、社保无法转移等），您可以考虑向劳动行政部门投诉或申请人事仲裁。
   • 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位有义务在解除或终止劳动合同时出具离职证明，并办理档案和社会保险关系转移手续。如果单位未履行这些义务，劳动行政部门有权责令其改正，并可能要求单位承担赔偿责任。

4. 实际操作建议：

   • 在与原单位沟通时，建议您保持冷静和理性，明确表达自己的诉求和理由。
   • 如果沟通无果，您可以考虑咨询专业的劳动法律师或法律援助机构，以获取更具体的法律建议和帮助。

综上所述，虽然补办1999年离职时的离职手续可能面临一些困难和挑战，但理论上仍然存在可能性。建议您先与原单位沟通协商，如果无法达成一致，再考虑通过法律途径来维护自己的权益。希望这些解答能对您有所帮助。