通常情况下，信用卡逾期一天不会给紧急联系人发短信。不过，具体是否会发送短信，还需结合以下不同情况来分析：
银行政策与操作惯例：
- 不同银行对于信用卡逾期的处理政策可能有所不同。有些银行可能在逾期初期，如逾期一天，并不会立即采取向紧急联系人发送短信的措施，而是先通过短信、电话等方式直接联系持卡人本人，提醒其尽快还款。
- 然而，也有部分银行可能在逾期后，无论逾期天数多少，都会根据内部规定或风险控制需要，向紧急联系人发送短信以告知逾期情况，但这并非普遍做法。
逾期程度与银行风险控制：
- 如果持卡人逾期时间较短，且逾期金额不大，银行可能认为风险相对较低，因此不会立即采取向紧急联系人发送短信等较为严厉的措施。
- 相反，如果持卡人逾期时间较长，或逾期金额较大，银行可能会认为风险较高，为了尽快回收款项或降低风险，可能会采取包括向紧急联系人发送短信在内的多种措施。
合同条款与隐私保护：
- 信用卡申请时，持卡人通常会与银行签订相关合同，其中可能包含关于逾期处理、紧急联系人通知等条款。因此，银行是否会向紧急联系人发送短信，也可能受到合同条款的约束。
- 同时，银行在处理持卡人信息时，也需遵守相关法律法规关于隐私保护的规定。未经持卡人同意，银行不得随意向第三方透露其个人信息，包括逾期情况等。
法律建议：
- 作为持卡人，应尽量避免信用卡逾期，以免产生不必要的利息、费用以及信用记录受损等后果。
- 如果确实出现逾期情况，应尽快与银行沟通，了解逾期处理政策，并尽快还款以减轻不良影响。
- 如果银行未经持卡人同意，擅自向紧急联系人发送短信透露其逾期情况，持卡人可以认为银行侵犯了其隐私权，并有权要求银行停止侵权行为并承担相应责任。不过，在实际操作中，持卡人需先确认银行的行为是否确实违反了相关法律法规或合同条款。
可能后果：
- 如果银行向紧急联系人发送短信，可能会给持卡人带来一定的社会压力或尴尬情况。
- 如果持卡人认为银行的行为侵犯了其权益，可以通过法律途径维护自己的合法权益，如向银行投诉、向监管机构举报或提起诉讼等。
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