结论：打伤孩子不给医药费，一般不能直接要求学校处分对方孩子，但可以通过其他法律途径维护自身权益。
分析说明：
学校处分的法律依据与限制：
- 学校对学生的处分通常基于学生违反校规校纪的行为，如打架斗殴、欺凌同学等。然而，处分决定需要依据明确的校规和事实依据，且应遵循正当程序，确保学生的合法权益不受侵犯。
- 在您所描述的情况中，虽然对方孩子打伤了您的孩子且未支付医药费，但这并不直接构成学校处分的充分条件。学校处分更多关注的是学生在校内的行为表现，而非校外发生的民事纠纷。
民事赔偿的法律途径：
- 对方孩子打伤您的孩子，构成侵权行为，您有权要求对方承担民事赔偿责任，包括支付医药费、护理费、营养费等合理费用。
- 如果对方拒绝支付，您可以通过法律途径解决，如向法院提起民事诉讼，要求对方赔偿损失。在诉讼过程中，法院将根据事实和法律规定，判决对方承担相应的赔偿责任。
学校在民事纠纷中的角色：
- 学校在民事纠纷中通常扮演调解者的角色，可以协助双方进行沟通协商，促进纠纷的解决。但学校并无权直接对对方孩子进行处分或强制其支付赔偿费用。
- 如果纠纷涉及校园欺凌或暴力行为，学校有义务及时采取措施保护受害学生的安全，并配合相关部门进行调查处理。然而，这并不意味着学校可以直接对加害学生进行处分或要求其支付赔偿。
行动建议：
收集证据：
- 保留好所有与事件相关的证据，如医疗记录、照片、视频、证人证言等。这些证据将在后续的法律程序中起到关键作用。
与对方家长沟通：
- 尝试与对方家长进行沟通，说明事件的严重性和您的诉求。如果对方愿意承担责任并支付赔偿费用，可以达成和解协议。
寻求法律帮助：
- 如果对方拒绝沟通或拒绝支付赔偿费用，您可以咨询专业律师（如我），了解具体的法律程序和维权途径。律师将根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议和帮助。
向学校反映情况：
- 虽然学校不能直接处分对方孩子或要求其支付赔偿费用，但您可以向学校反映情况，要求学校加强校园安全管理，防止类似事件再次发生。同时，学校也可以协助您与对方家长进行沟通协商。
后续思考：在处理此类纠纷时，除了关注眼前的赔偿问题外，还应考虑如何预防类似事件的再次发生。例如，可以加强孩子的安全教育、提高孩子的自我保护能力；同时，也可以与学校合作，共同营造一个安全、和谐的校园环境。如果您在处理过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。