结论：您可以合理合法地要求单位领导对私下造谣传播者进行书面处理，但具体能否实现以及处理的方式和程度，需视单位规章制度、相关法律法规以及实际情况而定。

分析说明：

1. 从单位规章制度的角度：

   • 许多单位都有明确的规章制度，禁止员工之间进行造谣、诽谤等不正当行为，并规定了相应的处罚措施。
   • 如果您所在的单位有此类规章制度，您可以依据这些规定，向单位领导提出要求，对造谣传播者进行书面处理，如警告、记过、解雇等。
   • 单位领导在接到您的要求后，应当依据规章制度进行调查，并根据调查结果作出相应的处理决定。

2. 从法律法规的角度：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人享有名誉权，任何组织或者个人不得以侮辱、诽谤等方式侵害他人的名誉权。
   • 如果造谣传播者的行为已经构成了对您名誉权的侵害，您有权依法追究其法律责任，包括要求停止侵害、恢复名誉、消除影响、赔礼道歉以及赔偿损失等。
   • 虽然法律法规并未直接规定单位领导必须对造谣传播者进行书面处理，但单位作为管理者，有义务维护内部的和谐稳定，防止类似事件的发生。因此，您可以向单位领导提出合理要求，促使其采取相应措施。

3. 从实际操作的角度：

   • 在提出要求时，建议您尽量提供充分的证据，如聊天记录、录音、视频等，以证明造谣传播者的行为确实存在。
   • 同时，您可以与单位领导进行沟通，说明造谣传播行为对您造成的困扰和损失，以及要求书面处理的原因和目的。
   • 如果单位领导拒绝或未及时作出处理，您可以考虑向更高层级的管理部门或劳动监察部门投诉，或者依法提起民事诉讼。

后续行动建议：

• 首先，查阅您所在单位的规章制度，了解对于造谣、诽谤等行为的处罚规定。
• 其次，收集并整理相关证据，以证明造谣传播者的行为确实存在且对您造成了损害。
• 然后，与单位领导进行沟通，提出您的要求，并说明理由和依据。
• 如果单位领导未作出满意的处理决定，您可以考虑采取进一步的法律行动，如投诉或提起诉讼。

特殊场景提醒：

• 如果造谣传播者的行为已经构成了犯罪（如诽谤罪），您应当及时向公安机关报案，由公安机关依法进行侦查和处理。
• 在处理过程中，您应当保持冷静和理性，避免采取过激行为或言语，以免加剧矛盾或引发新的纠纷。

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