当检察院作出法定不起诉决定后，公安机关的处理方式主要取决于案件具体情况和法律规定，以下是详细分析：

1. 法定不起诉的含义与情形
   法定不起诉，又称绝对不起诉，是指检察院根据《刑事诉讼法》第177条第1款规定，对符合特定情形的案件直接作出不起诉决定。这些情形包括：
   

• 犯罪嫌疑人没有犯罪事实；
  
• 情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪；
  
• 犯罪已过追诉时效期限；
  
• 经特赦令免除刑罚；
  
• 依照刑法告诉才处理的犯罪，没有告诉或撤回告诉；
  
• 犯罪嫌疑人、被告人死亡；
  
• 其他法律规定免予追究刑事责任的。
  

1. 公安机关的后续处理方式
   （1）立即释放被羁押的犯罪嫌疑人
   若犯罪嫌疑人已被采取强制措施（如拘留、逮捕），检察院作出法定不起诉决定后，公安机关需立即释放，并通知原批准逮捕的人民检察院。若需解除取保候审、监视居住等措施，也应依法办理。
   

（2）撤销案件或终止侦查
根据《公安机关办理刑事案件程序规定》第186条，公安机关在收到检察院不起诉决定书后，应当撤销案件或终止侦查，并将案卷材料退回检察院。例如：

• 若案件因“没有犯罪事实”或“不构成犯罪”被不起诉，公安机关需彻底终止程序；
  
• 若因“告诉才处理但未告诉”被不起诉，若后续被害人重新告诉，公安机关可能需重新立案。
  

（3）处理涉案财物
公安机关需根据检察院意见，及时返还被不起诉人的合法财产；若财物与案件无关，应在3日内解除查封、扣押、冻结并退还。

（4）特殊情形下的复议或复核
若公安机关认为不起诉决定有误（如证据不足但认为应追究），可向同级检察院复议；若意见不被接受，可向上一级检察院提请复核。但需注意，法定不起诉的情形通常事实清晰、法律明确，复议复核的成功率较低。

1. 对公安机关的监督与救济
   检察院作出法定不起诉决定后，若公安机关存在违法侦查行为（如超期羁押、违规取证），被不起诉人可向检察院申诉或控告，要求纠正违法行为或申请国家赔偿。
   

总结：检察院法定不起诉后，公安机关需立即释放嫌疑人、撤销案件或终止侦查，并依法处理涉案财物。若公安机关有异议，可通过复议复核程序救济，但需符合法定条件。如有具体案件疑问，可直接向我咨询细节。