结论：公司辞退10年以上严重过失的老员工，员工是否有权要求经济补偿，需结合具体辞退原因、劳动合同条款、相关法律法规及公司政策综合判断。若属于用人单位应当支付经济补偿的情形，员工有权要求相应补偿；若属于用人单位无需支付经济补偿的情形，则员工不能要求补偿。以下是对此问题的详细分析：
一、用人单位需支付经济补偿的情形
协商解除劳动合同：
- 根据《劳动合同法》第三十六条，用人单位与劳动者协商一致解除劳动合同时，应按劳动者在本单位工作年限支付经济补偿，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年按一年计算，不满六个月支付半个月工资。对于10年以上老员工，至少可获得10个月工资的经济补偿。
用人单位过错导致的解除劳动合同：
- 依据《劳动合同法》第三十八条，若用人单位未提供约定劳动条件、未及时足额支付劳动报酬或未依法缴纳社会保险费等，劳动者可解除合同并要求经济补偿，标准同上。但需注意，此情形通常适用于劳动者主动解除合同的情况，若用人单位以此为由解除合同，则可能涉及违法解除，需支付赔偿金。
非过失性辞退：
- 根据《劳动合同法》第四十条，因劳动者患病、不能胜任工作或劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致合同无法履行且协商未果时，用人单位提前三十日通知或额外支付一个月工资后可解除合同，并需支付经济补偿。但此情形通常不适用于劳动者存在严重过失的情况。
经济性裁员：
- 依照《劳动合同法》第四十一条，用人单位在特定情形下（如企业破产重整）进行经济性裁员时，应向劳动者支付经济补偿。10年以上老员工同样适用此规定，但需注意，经济性裁员需满足法定条件并履行法定程序。
二、用人单位无需支付经济补偿的情形
员工存在过错：
- 根据《劳动合同法》第三十九条，若劳动者严重违反规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等，用人单位可解除合同且无需支付经济补偿。对于10年以上老员工，若其存在严重过失，如严重违反公司规章制度、给公司造成重大损失等，公司有权依法解除劳动合同且无需支付经济补偿。
劳动合同期满不续订（此情形与本题关联性不大，但为全面性考虑仍列出）：
- 依据《劳动合同法》第四十六条，劳动合同期满，若用人单位维持或提高条件续订而劳动者不同意，则无需支付经济补偿；但若降低条件续订而劳动者不同意，则需支付经济补偿。
三、特殊情形：违法解除劳动合同的赔偿金
- 若公司违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，如无任何合法理由即辞退10年以上的老员工，劳动者有权要求继续履行劳动合同。若劳动者不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，用人单位需依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。即，若老员工月工资为X元，则公司需支付20X元的赔偿金。
四、综合考虑因素与建议
- 在判断是否需要支付经济补偿时，应综合考虑劳动合同的具体条款、当地的法律法规、辞退的具体原因以及公司的相关政策。
- 对于10年以上老员工，公司应更加谨慎地处理辞退事宜，确保辞退决定合法合规，避免引发劳动争议。
- 若遇到复杂情况或有疑问，建议直接向我咨询以获取准确的法律意见和指导。
总结：公司辞退10年以上严重过失的老员工是否需要支付经济补偿或赔偿金，需根据具体情况进行综合判断。若员工存在严重过失且符合《劳动合同法》第三十九条规定的情形，公司可依法解除劳动合同且无需支付经济补偿；若公司违法解除劳动合同，则需支付赔偿金。在处理此类事宜时，建议公司谨慎行事并咨询专业律师的意见。