针对您提出的问题，即老人去世前未留遗嘱，且另一位老人患有老年痴呆的情况下，遗产应如何处理，以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，当老人去世且未留下遗嘱时，其遗产将按照法定继承的顺序进行处理。然而，在此情况下，由于另一位老人患有老年痴呆，可能无法有效行使继承权或参与遗产管理，这就需要我们引入遗产管理人制度。
遗产管理人制度：
核心作用：遗产管理人制度旨在防止财产被侵占、毁损或私下处分，确保遗产处理有规则、有秩序。遗产管理人负责清理、保管、处置遗产，包括清点遗产、制作清单，采取措施防止遗产灭失，处理债权债务，并在具备条件后依法分割遗产。
选任顺序：
- 遗嘱执行人：如果被继承人在遗嘱中指定了遗嘱执行人，则由该人担任遗产管理人。
- 继承人推选：如果未指定遗嘱执行人，则由继承人共同推选一人担任遗产管理人。
- 全体继承人：如果没有推选，则由全体继承人共同担任遗产管理人。
- 民政部门或村委会：在没有继承人或者继承人均放弃继承的情况下，由被继承人生前住所地的民政部门或者村民委员会担任遗产管理人。
针对您的情况：
确定遗产管理人：
- 如果另一位老人（患有老年痴呆）是法定继承人之一，但由于其健康状况无法行使继承权或参与遗产管理，其他继承人可以共同推选一位合适的遗产管理人。
- 如果没有其他继承人，或者所有继承人都无法或不愿担任遗产管理人，可以向法院申请指定民政部门或村委会作为遗产管理人。
遗产处理：
- 遗产管理人将负责清理和保管遗产，包括房产、存款等。
- 如果另一位老人（患有老年痴呆）需要经济支持或生活照顾，遗产管理人可以在处理遗产时考虑其需求，例如通过设立信托或指定监护人等方式来保障其权益。
- 在具备条件后，遗产管理人将依法分割遗产。如果另一位老人（患有老年痴呆）是法定继承人之一，且其继承权未被剥夺或放弃，则其应分得相应的遗产份额。
特殊情况处理：
- 如果另一位老人（患有老年痴呆）在老人去世前已经由法院指定了监护人，那么该监护人可以代表其参与遗产管理过程，并维护其合法权益。
- 如果发现有人隐瞒或侵占遗产，可以向遗产管理人报告，或者通过诉讼途径维护合法权益。
建议：
- 提前规划：为了避免类似情况的发生，建议老人在生前就做好遗产规划，包括留下遗嘱、指定遗嘱执行人或遗产管理人等。
- 咨询专业人士：在处理遗产问题时，建议咨询律师或专业遗产管理机构的意见，以确保遗产处理的合法性和公正性。
- 关注弱势群体权益：在处理遗产时，应特别关注患有老年痴呆等弱势群体的权益保障问题，确保他们能够得到应有的经济支持和生活照顾。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。