行政机关发现违法行为后的处罚期限，主要涉及违法行为的追究时效、行政处罚案件的办理期限以及行政处罚决定的履行期限等多个方面。以下是对这些方面的详细阐述：
一、违法行为的追究时效
一般规定：
- 根据《行政处罚法》，违法行为在二年内未被发现的，不再给予行政处罚。这一规定明确了行政机关对违法行为进行查处的时效限制，旨在促使行政机关及时行使职权，维护社会秩序。
- 若违法行为涉及公民生命健康安全、金融安全且有危害后果的，追究时效延长至五年。这是为了加强对这些关键领域违法行为的打击力度，保护公众利益和社会稳定。
期限计算起点：
- 追究时效从违法行为发生之日起计算。若违法行为有连续或继续状态，则从行为终了之日起计算。例如，持续排污的追究时效从停止排污之日起计算。
二、行政处罚案件的办理期限
一般程序：
- 行政机关应自立案之日起九十日内作出行政处罚决定。这一规定旨在提高行政效率，保障当事人权益，防止行政机关拖延处理案件。
- 特殊情况下，如案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经执法部门负责人批准后延长三十日。若仍需延长，需报请上级主管部门或同级人民政府批准，但延长期限最多不超过六十日。
简易程序：
- 对于违法事实确凿并有法定依据，且对公民处以二百元以下、对法人或其他组织处以三千元以下罚款或警告的行政处罚，可以当场作出决定。此决定必须报所属行政机关备案，以确保行政处罚的合法性和规范性。
听证程序案件：
- 若案件需要听证，当事人应在行政机关告知后三日内提出听证要求。行政机关需在听证七日前通知当事人相关事项，如听证时间、地点等。听证结束后，行政机关应根据听证笔录作出决定，确保行政处罚的公正性和合理性。
三、行政处罚决定的履行期限
- 当事人应在收到行政处罚决定书之日起十五日内，到指定银行或通过电子支付系统缴纳罚款。如有经济困难，可申请延期或分期缴纳，但需经行政机关批准。其他类型的处罚，如警告、没收违法所得等，也有明确的执行和履行期限，通常会在处罚决定书中明确告知当事人。
四、特殊情况的期限延长或调整
- 在案情复杂、涉及多个违法行为人或需要跨地区协调等特殊情况下，行政机关可根据具体情况延长办案期限或调整执行期限。但此类延长或调整必须符合相关法律法规，并经过相应的审批程序，以确保行政处罚的合法性和有效性。
五、逾期不履行的后果
- 若当事人在规定期限内不履行行政处罚决定，行政机关有权采取强制措施，如加处罚款、冻结银行账户、查封扣押财产等。同时，逾期不履行可能构成新的违法行为，导致更严厉的处罚。因此，当事人应严格遵守行政处罚决定，按时履行相关义务。
总结与建议：
行政机关发现违法行为后的处罚期限是一个复杂而重要的问题，涉及多个方面的法律规定和程序要求。作为当事人，应了解并遵守相关法律法规，积极配合行政机关的调查和处理工作。若对行政处罚决定有异议或疑问，应及时向行政机关提出并寻求法律帮助。如有任何法律问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问，我将竭诚为您提供专业的法律服务。