结论：在房子买卖协议私下签署之后，又将房子抵押登记给第三人的情况下，权利的优先性主要取决于抵押登记的时间以及买受人是否已经取得房屋所有权或完成预告登记等因素。一般来说，已登记的抵押权优先于未登记的买卖合同债权，但存在例外情况。
分析说明：
抵押权登记的优先性：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，不动产物权的设立、变更、转让和消灭，经依法登记，发生效力；未经登记，不发生效力，但是法律另有规定的除外。因此，抵押权作为不动产物权的一种，其设立必须经过登记才能产生法律效力。
- 在房子已经抵押登记给第三人的情况下，该抵押权具有公示公信的效力，可以对抗第三人。这意味着，如果买受人未能在抵押登记之前取得房屋所有权或完成预告登记，那么其买卖合同债权将难以对抗已登记的抵押权。
买卖合同债权的保护：
- 虽然买卖合同债权本身不具有物权效力，但如果买受人已经支付了全部或大部分购房款，并且已经实际占有、使用房屋，或者已经完成了预告登记，那么其债权可能受到一定程度的保护。
- 预告登记是一种特殊的登记制度，它可以在一定程度上保障买受人未来取得物权的权利。如果买受人在抵押登记之前完成了预告登记，那么其未来取得房屋所有权的权利将受到法律保护，可以对抗后续的抵押权登记。
例外情况：
- 如果卖方与买方恶意串通，以低价转让房屋并试图逃避债务，那么这种转让行为可能被认定为无效。在这种情况下，即使房屋已经抵押登记给第三人，买受人的权益也可能得到一定程度的保护。
- 另外，如果第三人（抵押权人）在取得抵押权时知道或应当知道房屋已经出售给买受人，并且未提出异议，那么其抵押权可能受到一定限制。
法律建议：
- 对于买受人而言，在签订房屋买卖合同后，应尽快办理房屋过户手续或完成预告登记，以确保自己的权益得到法律保护。
- 如果房屋已经被抵押登记给第三人，买受人应仔细审查抵押合同和相关登记资料，了解抵押权的设立情况和范围，以便评估自己的风险。
- 在必要时，买受人可以寻求法律援助或咨询专业律师，以维护自己的合法权益。
后续行动：
- 如果您是买受人且面临此类情况，建议您立即收集相关证据（如买卖合同、付款凭证、房屋占有使用证明等），并咨询专业律师以评估您的法律风险和维权策略。
- 如果您是抵押权人且发现房屋已被出售给第三人，您也应咨询专业律师以了解您的权利和义务，并采取必要的法律措施来保护自己的抵押权。