行政履职申请书通常在需要督促行政机关履行其法定职责时使用，没有固定的“必须使用”时间点，但以下情形是典型适用场景：

1. 行政机关不作为或拖延履行职责
   当公民、法人或其他组织认为行政机关未依法履行其法定职责（如未处理投诉、未颁发许可证、未履行监管义务等），且经沟通或投诉后仍未得到回应时，可通过提交行政履职申请书，要求行政机关限期履行职责。例如，企业申请环保审批，行政机关长期未处理，企业可提交申请书督促其履行审批职责。

2. 需要明确行政机关职责边界时
   若行政机关以“职责不明”为由拒绝履职，申请人可通过行政履职申请书要求其明确职责范围，并依法作出具体行政行为。例如，在跨部门监管领域（如食品安全、环境污染），若行政机关相互推诿，申请人可提交申请书要求某一部门履行法定职责。

3. 为后续行政复议或诉讼做准备
   行政履职申请书是启动行政救济程序的重要前置步骤。根据《行政复议法》和《行政诉讼法》，若行政机关收到申请后仍不履职，申请人可在法定期限内申请行政复议或提起行政诉讼。因此，提交申请书可为后续法律程序提供书面证据，证明已履行催告义务。

4. 紧急情况下要求行政机关采取临时措施
   在涉及公共安全、健康等紧急情形时（如环境污染事故、传染病防控），若行政机关未及时采取应急措施，申请人可通过申请书要求其立即履行职责，防止损害扩大。此时，申请书需明确说明紧急情况及法律依据。

注意事项：

• 时效性：行政履职申请书无固定提交期限，但建议在发现行政机关不作为后尽快提交，以避免超过行政复议或诉讼的起诉期限（通常为知道行政机关不履职之日起6个月内）。
  
• 内容要求：申请书需明确申请人信息、行政机关名称、具体履职请求、事实与理由、法律依据及证据材料。若涉及复杂事项，建议附专业法律意见或专家论证。
  
• 后续跟进：提交后需保留送达凭证（如邮寄回执、签收记录），并关注行政机关的答复期限（通常为2个月）。若逾期未答复或答复不合法，可依法申请复议或起诉。
  

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