派出所存在不履行法定职责的情形，构成行政不作为时，其处罚方式及后续处理措施主要包括以下几个方面：

1. 内部监督与问责：

   • 上级机关督促：一旦发现派出所存在行政不作为，其上级公安机关（如上一级公安局）会依法进行调查核实，并督促下级机关履行职责。这是内部监督机制的重要一环，旨在确保行政机关依法行使职权。
   • 纪律处分：对于直接负责的主管人员和其他责任人员，若其不作为行为违反了行政纪律，上级机关或纪检监察部门将依据相关规定给予处分，如警告、记过、记大过、降级、撤职或开除等。

2. 行政复议与诉讼：

   • 行政复议：当事人若认为派出所的不作为行为侵害了其合法权益，可在知道具体行政行为之日起60日内，向该机关的上级主管部门或同级人民政府提出行政复议申请。行政复议机关将对原行政行为的合法性和适当性进行全面审查，并作出维持、撤销或变更的决定。若确认存在不作为，复议机关可能要求派出所限期履行法定职责。
   • 行政诉讼：若对行政复议结果不满意，或认为不作为已严重侵害自身权益，当事人可向法院提起行政诉讼。法院将依法审理案件，并根据事实和法律作出公正判决。若确认派出所存在不作为行为，法院可能要求其限期履行，或对责任人员给予处分，并可能判决派出所承担相应的赔偿责任。

3. 具体处罚措施：

   • 限期履行：在行政复议或诉讼中，若确认派出所存在不作为，复议机关或法院通常会要求其在一定期限内履行法定职责，如及时出警处理治安案件、对行政许可申请作出决定等。
   • 赔偿损失：若派出所的不作为行为给当事人造成了实际损失，如财产损失、人身伤害等，且该损失与不作为行为之间存在因果关系，当事人有权要求派出所承担赔偿责任。赔偿范围通常包括直接损失和合理的间接损失。
   • 公开道歉或恢复名誉：在某些情况下，若派出所的不作为行为对当事人的名誉或信誉造成了损害，当事人还有权要求派出所公开道歉或采取其他措施恢复其名誉。

4. 实际处理中的注意事项：

   • 保留证据：在处理过程中，当事人需妥善保留与派出所不作为相关的所有证据，如报警记录、通话录音、视频资料等。这些证据将有助于后续的法律程序，如行政复议或行政诉讼。
   • 及时维权：一旦发现派出所存在不作为行为，当事人应及时采取措施进行维权，以免错过法定的维权期限。例如，行政复议的申请期限为知道具体行政行为之日起60日内，而行政诉讼的起诉期限通常为知道或应当知道处罚决定之日起六个月内。
   • 理性表达诉求：在维权过程中，当事人应保持冷静和理性，通过合法途径表达诉求，避免采取过激行为或言论。这有助于维护良好的社会秩序，也有助于当事人自身权益的维护。

举例说明：假设某市民向当地派出所报案称其家中被盗，但派出所未及时出警处理。该市民认为派出所存在不作为行为，侵害了其合法权益。在此情况下，该市民可以向上一级公安局或同级人民政府提出投诉，要求督促派出所履行职责；也可以向法院提起行政诉讼，要求确认派出所的不作为行为违法，并要求其承担赔偿责任。在诉讼过程中，该市民需提供报警记录、通话录音等证据证明派出所未及时出警的事实。

总结与建议：派出所作为行政机关，其不履行法定职责的行为将受到法律的严格制约和惩罚。当事人在遇到此类情况时，应积极采取措施进行维权，通过合法途径表达诉求，并妥善保留相关证据。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。