您好，关于您提出的“被留置供出他人怎么处理”的问题，这涉及到监察执法与刑事司法衔接的复杂机制。以下是我为您详细梳理的解答：

首先，需要明确的是，当被留置人员供出他人涉嫌违法犯罪行为时，监察机关或相关司法机关会根据具体情况进行判断和处理。这主要取决于被供出人员的行为性质、涉嫌的罪名以及案件的具体情况。

1. 案件性质与管辖：

   • 如果被供出人员涉嫌的是职务犯罪，且该罪名属于监察机关专属管辖（如贪污贿赂犯罪），那么该案件将由监察机关负责调查。
   • 如果被供出人员涉嫌的是其他犯罪，且该罪名属于检察机关或公安机关管辖，那么案件将依法移交至相应的机关进行侦查。
   • 在某些情况下，被供出人员可能同时涉嫌职务犯罪和其他犯罪，这时将形成互涉案件。根据相关规定，互涉案件一般由监察机关和其他机关分别依职权立案，并以监察机关为主调查，其他机关予以协助。

2. 留置措施与刑事强制措施的衔接：

   • 如果被供出人员已被监察机关采取留置措施，而后续发现其还涉嫌其他机关管辖的犯罪，经沟通一致后，在解除留置措施后，其他机关可以依法采取刑事强制措施。
   • 反之，如果被供出人员已被检察机关或公安机关采取刑事强制措施，而监察机关后续发现其还涉嫌职务犯罪，监察机关可以在上述机关依法解除刑事强制措施后采取留置措施。

3. 协同取证与移送起诉：

   • 在互涉案件中，监察机关、检察机关、公安机关可以共享证据或为对方收集证据提供协助。这有助于确保案件的顺利办理和证据的充分性。
   • 关于移送起诉模式，监察机关可以组织协调调查和侦查工作进度，采取同步移送审查起诉、公诉阶段或审判阶段补充移送、审查起诉期间追加罪行等模式，确保案件的及时、有效处理。

4. 具体处理原则：

   • 对于被留置人员供出他人的情况，处理原则主要是依法、公正、及时。相关机关将根据被供出人员的行为性质、涉嫌的罪名以及案件的具体情况，依法进行调查、侦查和起诉。
   • 同时，相关机关也会注重保护被供出人员的合法权益，确保其在调查、侦查和起诉过程中的合法权益不受侵犯。

举例说明： 假设某公职人员因涉嫌贪污被监察机关留置，在留置期间，该公职人员供出其同伙也涉嫌贪污以及另一名非公职人员涉嫌诈骗。对于同伙的贪污行为，将由监察机关继续调查；对于非公职人员的诈骗行为，将依法移交至公安机关进行侦查。在调查和侦查过程中，监察机关和公安机关将相互协助、共享证据，确保案件的顺利办理。

综上所述，被留置人员供出他人的处理是一个复杂而细致的过程，需要相关机关依法、公正、及时地进行处理。如果您或您身边的人遇到类似情况，建议及时咨询专业律师或相关机关以获取更具体的法律帮助。