已经起诉的劳动争议案件，在诉讼过程中仍然可以向劳动监察部门投诉并提供相关材料，但需注意以下几点：
诉讼与投诉并行不悖：
- 诉讼和投诉是两种不同的法律救济途径，它们之间并不互相排斥。已经向法院提起诉讼的劳动争议案件，并不妨碍当事人同时向劳动监察部门投诉，要求劳动监察部门对用人单位的违法行为进行查处。
投诉内容需与诉讼相关且未重复处理：
- 投诉的内容应当与正在进行的诉讼案件相关，且是劳动监察部门有权处理的事项。例如，如果诉讼中涉及的是工资支付问题，而投诉也是关于用人单位未按时足额支付工资，那么这种投诉是合理的。
- 同时，要确保投诉的内容在诉讼中尚未得到处理或判决，以避免重复处理造成的资源浪费和可能的法律冲突。如果诉讼中已经对投诉的内容进行了处理或判决，那么劳动监察部门可能不再重复处理。
投诉可能对诉讼产生的影响：
- 劳动监察部门的介入和查处结果，可能作为诉讼中的证据使用，有助于支持当事人的诉讼请求。
- 如果劳动监察部门对用人单位的违法行为进行了处罚，这可能对诉讼中的赔偿数额或责任认定产生影响。
- 然而，投诉并不直接决定诉讼的结果，诉讼的结果仍然取决于法院的判决和证据的充分性。
实际操作建议：
- 在向劳动监察部门投诉时，应提供详细的证据材料，如劳动合同、工资单、考勤记录等，以支持投诉内容。
- 同时，应告知劳动监察部门已经提起诉讼的情况，以便劳动监察部门在处理投诉时考虑诉讼的进展和结果。
- 如果在诉讼过程中收到了劳动监察部门的处理结果，应及时向法院提交，以便法院在判决时参考。
法律背景：
- 根据《劳动保障监察条例》等相关法律法规，劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行查处，并保护劳动者的合法权益。
- 诉讼是当事人通过法院解决争议的一种方式，而投诉则是向行政机关寻求帮助的一种途径。两者在法律上并不互相排斥，可以并行使用。
可能后果：
- 如果投诉内容合理且证据充分，劳动监察部门可能会对用人单位进行处罚，并要求用人单位改正违法行为。
- 如果投诉内容与诉讼内容重复或已经得到处理，劳动监察部门可能不再重复处理，但会告知当事人相关情况。
- 无论投诉结果如何，都不会直接影响诉讼的进行和结果，诉讼的结果仍然取决于法院的判决。
如有进一步疑问或需要具体的法律帮助，可以直接向我咨询。