结论：大股东私自变更公章监管人并损害公司利益的情况下，公司是否可以重新刻章，需视具体情况而定，但通常公司有权采取措施维护自身权益，包括重新刻章，不过应遵循法定程序并确保合法性。

分析：

1. 公章的法律地位与重要性：

   • 公章是公司对外进行法律行为的重要凭证，具有代表公司意志的法律效力。
   • 公章的保管与使用直接关系到公司的权益与安全，因此，公章的监管人变更应遵循公司章程或相关法律法规的规定。

2. 大股东私自变更公章监管人的法律性质：

   • 大股东私自变更公章监管人，若未经公司合法程序（如股东会决议、董事会决议等）同意，可能构成对公司治理结构的破坏，甚至可能涉及滥用股东权利或侵害公司利益的行为。
   • 此类行为可能违反公司章程、公司法或其他相关法律法规，公司有权采取法律措施进行维权。

3. 公司重新刻章的合法性：

   • 在公章被非法变更或滥用的情况下，公司为了维护自身权益，有权采取措施包括重新刻章。
   • 但重新刻章应遵循法定程序，如向公安机关申请备案、公告原公章作废等，以确保新公章的合法性和有效性。
   • 同时，公司应通过内部程序（如股东会、董事会决议）明确新公章的监管人和使用规则，防止类似事件再次发生。

4. 法律后果与维权途径：

   • 若大股东的行为确实损害了公司利益，公司有权要求其承担赔偿责任，包括但不限于恢复原状、赔偿损失等。
   • 公司还可以考虑通过法律途径（如诉讼、仲裁）解决争议，维护自身合法权益。
   • 在此过程中，公司应保留好相关证据，如公章变更记录、公司决策文件、损失证明等，以便在维权时使用。

建议：

• 立即采取措施：公司一旦发现公章被非法变更或滥用，应立即采取措施防止损失扩大，包括但不限于暂停公章使用、通知相关方、向公安机关报案等。
• 遵循法定程序：在重新刻章过程中，公司应严格遵循法定程序，确保新公章的合法性和有效性。
• 加强内部治理：公司应加强内部治理结构建设，完善公章管理制度，明确公章的保管、使用和变更程序，防止类似事件再次发生。
• 寻求法律帮助：若公司在处理此类事件时遇到法律难题或需要专业指导，可直接向我咨询，我将根据具体情况提供针对性的法律建议。