学校监控老师手机上网的行为，在大多数情况下是违法的，具体取决于监控的方式和目的。以下从不同角度为你详细分析：

1. 从隐私权保护的角度：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人享有隐私权，任何组织或者个人不得以刺探、侵扰、泄露、公开等方式侵害他人的隐私权。手机上网行为，尤其是浏览记录、聊天记录等，往往涉及个人隐私。
   • 如果学校未经老师同意，擅自监控其手机上网行为，这很可能构成对老师隐私权的侵犯。即使学校出于管理目的，也需要遵循合法、正当、必要的原则，并事先告知老师，取得其同意。

2. 从合法监控与非法监控的界限：

   • 合法监控通常需要在法律授权的范围内进行，比如公安机关在侦查犯罪时，可以依法对犯罪嫌疑人的通信进行监控。但学校并非执法机关，没有这样的权力。
   • 非法监控则是指未经法律授权或违反法律规定的监控行为。学校监控老师手机上网，如果没有明确的法律依据或老师同意，很可能属于非法监控。

3. 从实际案例和法律后果的角度：

   • 在实际生活中，如果学校擅自监控老师手机上网行为被曝光，很可能会引发法律纠纷和社会舆论的谴责。
   • 老师有权向学校提出异议，要求停止侵权行为，并可以寻求法律途径维护自己的合法权益，比如提起民事诉讼要求赔偿精神损失等。

建议：

• 如果老师发现学校存在监控其手机上网的行为，首先应当与学校进行沟通，了解监控的目的和依据。
• 如果沟通无果，或者认为学校的监控行为侵犯了自己的隐私权，老师可以向相关部门投诉或寻求法律援助。
• 学校也应当尊重老师的隐私权，避免采取非法监控手段进行管理。如果确实需要监控，应当事先告知老师并取得其同意，同时确保监控行为在法律允许的范围内进行。

总之，学校监控老师手机上网的行为需要谨慎对待，既要考虑学校的管理需求，也要尊重老师的隐私权。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。