当法人辞职而公司拒绝变更法人登记时，登记机关会依据相关法律法规和司法实践来处理这一问题，具体流程与原则如下：
一、法律依据与原则
根据《公司登记管理实施办法》及相关法律法规，公司有义务在法定代表人辞任后及时办理变更登记。若公司怠于或拒绝办理，原法定代表人可以通过司法途径寻求救济。登记机关在接到法院的协助执行通知书后，有义务协助执行涤除登记。
二、处理流程
原法定代表人提起诉讼：
- 原法定代表人（如姚某、张某等案例中的情况）在辞职后，若公司拒绝配合办理变更登记，可以向法院提起诉讼，请求判令公司办理变更手续。
法院判决与协助执行：
- 法院在审理案件后，若认定公司确实存在拒绝变更登记的行为，且该行为损害了原法定代表人的合法权益，会依法作出判决，要求公司办理变更登记。
- 判决生效后，若公司仍未履行义务，原法定代表人可以向法院申请强制执行。
- 法院会向公司登记机关（如市场监督管理局）发出协助执行通知书，要求登记机关协助涤除原法定代表人的登记事项。
登记机关涤除登记：
- 登记机关在接到法院的协助执行通知书后，会依据《公司登记管理实施办法》的相关规定，启动登记信息涤除程序。
- 涤除程序完成后，原法定代表人的身份在工商登记系统中将被正式去除，公司需另行确定新的法定代表人并办理变更登记。
三、实践中的注意事项
涤除登记的本质：
- 涤除登记只是公司内部职务的变更，并不影响公司作为独立法人对外承担债务。因此，涤除登记后，公司仍需对其债务承担责任。
挂名法定代表人的特殊情况：
- 若原法定代表人为挂名法定代表人，即未实际参与公司经营、未行使管理职权，且已离职，公司继续使用其挂名职务可能损害其个人权益。在此情况下，法院更可能支持其涤除登记的诉求。
登记机关的协助执行义务：
- 登记机关在接到法院的协助执行通知书后，有义务及时、准确地执行涤除登记程序，以维护当事人的合法权益和生效法律文书的权威性。
四、案例参考
以吉水县市场监督管理局处理的案件为例，姚某原为某文化娱乐有限公司法定代表人，辞职后公司拒绝配合办理变更登记。姚某通过司法途径获得胜诉判决后，向法院申请强制执行。吉水县市场监督管理局在接到法院的协助执行通知书后，依法启动了登记信息涤除程序，成功涤除了姚某的法定代表人身份。
综上所述，当法人辞职而公司拒绝变更法人登记时，原法定代表人可以通过司法途径寻求救济，登记机关在接到法院的协助执行通知书后，会依法协助执行涤除登记程序。这一流程既维护了当事人的合法权益，也体现了生效法律文书的权威性。