结论：劳务派遣合同到期后未续签但劳动者仍在上班的情况，一般视为双方默认按原合同条件继续履行，但此情况涉及复杂的法律关系，包括劳动合同的默认续订、劳动者的权利与诉求、派遣单位和用工单位的义务与责任等。以下是对此问题的详细分析：
一、法律关系的认定
视为续订劳动合同：根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同或劳务派遣合同期满后，若劳动者仍在原用人单位（或用工单位）工作且未提出异议，视为双方同意以原条件继续履行合同。这意味着，尽管合同形式上未续签，但双方实际上仍在按照原合同的条件履行各自的义务。
事实劳动关系：在合同未续签但劳动者继续工作的情况下，双方之间形成了事实劳动关系。这种关系同样受到法律的保护，劳动者享有与签订书面合同相同的权益。
二、劳动者的权利与诉求
双倍工资赔偿：若劳务派遣单位在合同到期后超过一个月不满一年未与劳动者续签书面合同，根据《劳动合同法》第八十二条，劳动者有权要求派遣单位支付双倍工资。起算时间为合同到期满一个月的次日，截止至补签合同前一日。
经济补偿：若劳务派遣单位决定不续签合同，且劳动者继续工作了一段时间，派遣单位应按工作年限向劳动者支付经济补偿金。经济补偿金的计算标准通常为每工作满一年支付一个月工资。
要求补签合同并补缴社保：劳动者有权要求派遣单位补签书面合同，并补缴未续签期间的社保费用。这是保障劳动者权益的重要措施。
三、派遣单位和用工单位的义务与责任
及时补签合同：派遣单位应尽快与劳动者补签劳务派遣合同，明确双方的权利义务。合同期限需符合法律规定，以避免潜在的法律风险。
支付报酬与福利：在合同未续签期间，派遣单位和用工单位应按原待遇支付劳动报酬，并缴纳社会保险费用，提供相应福利待遇。这是保障劳动者基本生活需求的重要措施。
法律责任：因未及时续签合同引发争议，派遣单位和用工单位可能需承担经济补偿金、赔偿金等法律责任。因此，双方应严格遵守法律法规，确保合同续签流程的合法性与规范性。
四、用工单位的特殊责任
尽管用工单位未直接与劳动者签订合同，但在劳务派遣关系中，对劳动者的管理使用负有责任。若用工单位继续留用而未通过派遣单位续签合同，也可能涉及法律责任。因此，用工单位应定期核查派遣员工合同状态，督促派遣单位合规管理。
五、纠纷解决途径
协商解决：首选友好协商，劳动者可与派遣单位和用工单位就补签合同、支付双倍工资等诉求进行沟通。通过协商，双方可以达成共识，避免不必要的法律纠纷。
劳动仲裁：协商不成时，劳动者可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，劳动者需提供相关证据证明继续工作的事实以及派遣单位未续签合同的情况。
提起诉讼：对仲裁裁决不服，劳动者可向人民法院提起诉讼。法院将全面审查案件并依法判决，保障劳动者的合法权益。
六、应对策略建议
及时沟通：劳动者、派遣单位和用工单位应在合同到期前后及时沟通续签事宜，明确各自权利义务。通过沟通，可以避免因信息不对称而引发的法律纠纷。
依法维权：劳动者应了解自己的法律权益，如遇违法行为，可依法向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁。在维权过程中，劳动者应保留好相关证据，以便在需要时提供证明。
合规操作：派遣单位和用工单位应遵守法律法规，确保合同续签流程的合法性与规范性。通过合规操作，可以降低法律风险，保障双方的合法权益。
举例说明：假设某员工与派遣公司签订的两年期合同于2023年5月到期，未续签但继续在原岗位工作至8月。在此情况下，员工有权要求派遣公司支付6月至8月的双倍工资差额，并补缴社保费用。若派遣公司拒绝支付或补缴，员工可通过劳动仲裁或提起诉讼来维护自己的合法权益。
最后建议：如果您或您身边的人遇到了类似的问题，可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况，提供详细的法律建议和解决方案。