不履行调解书时，是否可以申请迟延履行利息，需视调解书的具体内容及相关法律法规而定。以下从不同角度为您详细分析：
一、调解书有明确约定迟延履行利息的情况
如果调解书中已经就迟延履行的违约责任进行了明确约定，比如约定了支付违约金，且这种违约责任在性质上与迟延履行利息相似，那么根据《最高人民法院关于人民法院民事调解工作若干问题的规定》，被执行人在承担了调解书确定的民事责任后，申请执行人通常不能再要求其承担民事诉讼法规定的迟延履行责任。这是为了避免对同一违约行为的重复惩罚。
二、调解书无明确约定或约定不足的情况
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百六十条的规定，被执行人未按判决、裁定和其他法律文书（包括调解书）指定的期间履行给付金钱义务的，应当加倍支付迟延履行期间的债务利息。这一规定明确了迟延履行利息的法律基础，并适用于包括调解书在内的多种法律文书。
迟延履行利息的计算：
- 加倍部分债务利息：加倍部分债务利息=债务人尚未清偿的生效法律文书确定的除一般债务利息之外的金钱债务×日万分之一点七五×迟延履行期间。迟延履行期间自生效法律文书确定的履行期间届满之日起计算；若法律文书未确定履行期间的，则从法律文书生效之日起计算。
- 一般债务利息：若生效法律文书（如调解书）确定了给付一般债务利息的内容，则迟延履行期间的债务利息中还应包含该一般债务利息。具体计算需依据法律文书中的约定或相关法律规定。
申请程序：
- 当被执行人不履行调解书时，申请执行人可以依法向法院提出强制执行申请，并要求被执行人支付迟延履行利息。在执行过程中，法院会依法对被执行人的财产进行查询、查封、扣押等措施，并督促其尽快履行义务。若被执行人仍拒不履行，法院将依法采取更严厉的执行措施，如拍卖、变卖其财产等，以维护申请执行人的合法权益。
三、实际操作中的注意事项
- 在处理具体案件时，应仔细审查调解书的内容，特别是关于迟延履行的约定部分。如果调解书中存在相关约定，且该约定已充分体现了迟延履行的违约责任，那么申请执行人在执行程序中就不能再主张迟延履行利息。
- 如果调解书中没有相关约定或约定不足以弥补损失，申请执行人可以依法向法院主张迟延履行利息，以维护自身合法权益。
举例说明：
假设甲和乙因合同纠纷达成调解，调解书中约定乙应在2023年1月1日前支付甲10万元，但未约定迟延履行利息。若乙未在指定期间内履行支付义务，甲有权向法院申请强制执行，并要求乙支付迟延履行期间的债务利息。此时，迟延履行利息的计算将依据上述法律规定进行。
总结与建议：
不履行调解书时是否可以申请迟延履行利息，需根据调解书的具体内容及相关法律法规来判断。为避免后续执行过程中的争议和纠纷，建议在起草或审查调解书时明确约定迟延履行的责任，特别是迟延履行利息的支付方式及计算方法。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。