结论概述：在未签订合同但已交付定金和首付的情况下，能否退款需视具体情况而定，主要取决于合同是否成立、双方约定以及法律规定。以下将从不同角度进行详细分析。
一、合同是否成立的角度
合同成立的要件：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同成立一般需要双方意思表示一致，且内容合法、不违背公序良俗。在买卖合同等典型合同中，通常还需要就标的、数量、价款等主要条款达成一致。
未签订书面合同的情况：
- 即使未签订书面合同，如果双方已经通过口头、行为或其他方式就合同的主要条款达成一致，且一方已经履行了主要义务（如支付定金和首付），对方接受的，合同仍然可能被认定为成立。
合同未成立的情况：
- 如果双方未就合同的主要条款达成一致，或者一方明确表示不签订书面合同，那么合同可能未成立。在此情况下，如果一方已经支付了定金和首付，且对方未接受或未履行相应义务，支付方有权要求退款。
二、双方约定的角度
定金条款：
- 如果双方在协商过程中约定了定金条款，且支付方已经支付了定金，那么根据定金的性质（通常为担保性质），如果支付方违约，可能无权要求返还定金；如果接收方违约，则应双倍返还定金。但这一规定并不影响首付的返还问题。
首付的返还：
- 对于首付的返还，主要取决于双方是否有明确约定。如果双方约定了在特定条件下（如合同未成立、对方违约等）可以返还首付，那么支付方有权要求返还。如果没有明确约定，则需要根据法律规定和公平原则进行判断。
三、法律规定的角度
《中华人民共和国民法典》的相关规定：
- 根据《民法典》中关于合同成立、履行和违约责任的规定，如果合同未成立或对方存在违约行为，支付方有权要求返还已支付的款项（包括定金和首付），但定金可能受到定金罚则的限制。
消费者权益保护法的适用：
- 如果涉及消费者与经营者之间的交易，还可以考虑适用《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定。例如，如果经营者存在欺诈行为或未履行告知义务等，消费者有权要求退款并可能获得赔偿。
四、具体建议
收集证据：
- 首先，建议您收集所有与交易相关的证据，包括聊天记录、转账记录、收据等，以证明您已经支付了定金和首付，以及双方就合同的主要条款进行了协商。
与对方协商：
- 其次，您可以尝试与对方进行协商，看是否能够达成退款协议。在协商过程中，您可以明确表达自己的诉求和理由，并引用相关法律规定进行支持。
寻求法律途径：
- 如果协商无果，您可以考虑通过法律途径解决纠纷。您可以向当地的人民法院提起诉讼或申请仲裁（如果双方有仲裁协议的话），要求对方返还已支付的款项并承担相应的法律责任。
五、注意事项
- 在处理此类纠纷时，请注意保留好所有相关证据，并尽快采取行动以避免超过诉讼时效或仲裁时效。
- 如果您对法律程序不熟悉或担心自己的权益无法得到保障，建议及时咨询专业律师（即我，仝荣华律师）以获取更具体的法律建议和帮助。
希望以上分析能够对您有所帮助。如果您有任何其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。