在私修厂上班时右手受伤，可以按照以下步骤处理工伤相关事宜：

1. 及时就医并保留证据：

   • 首要任务是确保你的伤势得到及时、专业的治疗。选择有资质的医疗机构进行救治，并妥善保存所有医疗记录、费用单据等，这些将是后续申请工伤认定和赔偿的重要依据。

2. 确认劳动关系：

   • 私修厂可能未与你签订正式的劳动合同，但这并不影响你与工厂之间存在事实劳动关系。你可以通过工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等证据来证明你与工厂之间的劳动关系。

3. 申请工伤认定：

   • 根据《工伤保险条例》及相关规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。你需要向当地的社会保险行政部门（通常是人力资源和社会保障局）提出工伤认定申请，并提交相关证据材料。
   • 如果私修厂未为你缴纳工伤保险，根据《工伤保险条例》第六十二条，用人单位仍需承担工伤保险责任，即你需要直接向私修厂主张工伤赔偿。

4. 进行劳动能力鉴定：

   • 工伤认定后，如果伤势较重，可能影响到你的劳动能力，你可以向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出劳动能力鉴定申请。鉴定结果将作为你享受工伤保险待遇的依据。

5. 协商赔偿或提起诉讼：

   • 在工伤认定和劳动能力鉴定完成后，你可以与私修厂就赔偿事宜进行协商。如果协商不成，你可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
   • 赔偿项目通常包括医疗费、停工留薪期工资、护理费、一次性伤残补助金等，具体数额需根据你的伤情、工资水平等因素确定。

6. 注意时效问题：

   • 工伤认定申请有一定的时效限制，通常是在事故伤害发生之日起一年内提出。因此，你需要尽快行动，以免错过申请时机。

额外建议：

• 在处理工伤事宜过程中，保持与私修厂的沟通，尽量通过协商解决问题，以减少不必要的法律纠纷。
• 如果私修厂拒绝承担责任或拖延处理，你可以寻求当地劳动监察部门的帮助，或者考虑委托律师代理你的案件，以更好地维护你的合法权益。

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