结论：退休后人员违纪，且涉及之前在两个单位的工作情况，关于在第一家单位违纪应由谁来核查的问题，需根据具体情况分析，一般而言，若违纪行为与第一家单位有关且在其在职期间发生，通常由第一家单位负责核查；若已退休且违纪行为与原单位无直接关联，则可能由其他相关机构或部门负责。以下是对此问题的详细分析：
一、违纪行为与第一家单位的关系
在职期间违纪：
- 如果违纪行为发生在该人员还在第一家单位工作期间，且该行为与第一家单位的工作、管理或规章制度直接相关，那么通常应由第一家单位负责进行核查。这是因为单位有责任对其员工的行为进行管理和监督，特别是当这些行为可能违反单位规章制度或法律法规时。
已退休后违纪：
- 如果违纪行为发生在该人员已经从第一家单位退休之后，且该行为与第一家单位无直接关联（例如，不是利用原单位的资源、信息或职务便利进行的违纪行为），那么第一家单位通常没有直接责任进行核查。此时，核查的责任可能转移到其他相关机构或部门，如公安机关、行业协会或监管机构等，具体取决于违纪行为的性质和严重程度。
二、违纪行为的性质和严重程度
- 违纪行为的性质和严重程度也是决定核查主体的关键因素。如果违纪行为涉嫌违法犯罪（如贪污、受贿、挪用公款等），那么无论该人员是否已退休，都应由公安机关或检察机关等司法机关负责进行核查和调查。
- 如果违纪行为仅违反了单位的规章制度或行业规范，且未达到违法犯罪的程度，那么核查的责任可能由单位内部或行业协会等负责。
三、其他相关因素
- 单位规章制度：第一家单位的规章制度中可能明确规定了对于员工违纪行为的核查和处理程序。如果规章制度中有相关规定，那么应按照规章制度执行。
- 劳动合同或聘用协议：如果该人员与第一家单位签订了劳动合同或聘用协议，且协议中明确规定了双方的权利和义务以及违纪行为的处理方式，那么也应按照协议执行。
- 法律法规：在处理违纪行为时，还应遵守相关的法律法规，如《劳动法》、《劳动合同法》等。这些法律法规可能对单位核查和处理员工违纪行为的方式和程序有具体规定。
四、建议
- 对于此类复杂情况，建议首先查阅第一家单位的规章制度、劳动合同或聘用协议等相关文件，以了解对于员工违纪行为的核查和处理程序。
- 如果违纪行为涉嫌违法犯罪，应及时向公安机关或检察机关等司法机关报案，并配合其进行调查和处理。
- 如果对核查主体或处理程序有疑问或争议，可以寻求法律援助或咨询专业律师以获取更具体的法律建议。
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