留置措施主要由监察机关执行，但在特定情况下，公安机关也可能参与执行。以下是对这一问题的详细分析：
一、监察机关执行留置措施
法律依据：
- 根据《中华人民共和国监察法》的相关规定，监察机关在调查过程中，对于涉嫌贪污贿赂、失职渎职等严重职务违法或职务犯罪的被调查人，可以采取留置措施。这一规定明确了留置措施的适用对象和条件，以及执行主体为监察机关。
执行程序与要求：
- 审批与执行：监察机关采取留置措施时，应当由监察机关领导人员集体研究决定。设区的市级以下监察机关采取留置措施，应当报上一级监察机关批准；省级监察机关采取留置措施，应当报国家监察委员会备案。
- 期限管理：留置时间不得超过三个月。在特殊情况下，可以延长一次，延长时间不得超过三个月。省级以下监察机关采取留置措施的，延长留置时间应当报上一级监察机关批准。监察机关发现采取留置措施不当的，应当及时解除。
- 权利保障：监察机关采取留置措施时，可以根据工作需要提请公安机关配合。公安机关应当依法予以协助。被留置人员享有基本人权保障，包括知情权、申诉权及律师咨询权（在符合规定的条件下）。
留置场所与管理：
- 留置场所的设置、管理和监督依照国家有关规定执行，通常设有专门设施并配备必要医疗条件。
- 监察机关应确保被留置人员的饮食、休息和安全，提供医疗服务，并安排专人进行看护和监管。
二、公安机关参与执行留置措施
特定情况下的参与：
- 虽然留置措施主要由监察机关执行，但在某些特定情况下，如涉及治安案件或刑事案件的初步调查阶段，且案件与职务违法或职务犯罪无直接关联时，公安机关可能会根据相关法律法规采取类似的强制措施（尽管这些措施在名称和性质上可能与监察机关的留置措施有所不同），以控制嫌疑人并防止其逃匿或破坏证据。不过，严格意义上讲，这并不属于监察法意义上的“留置措施”，而是公安机关依据自身职权采取的强制措施。
- 另外，在监察机关采取留置措施时，如果需要公安机关的配合（如协助执行、提供技术支持等），公安机关应当依法予以协助。
公安机关执行措施的性质：
- 公安机关执行的类似留置的措施（如刑事拘留、行政拘留等）具有强制违法犯罪嫌疑人到案接受调查的功能，兼具行政性和司法性的双重性质。这些措施是公安机关打击违法犯罪活动、维护社会治安的有效手段。
总结与建议：
留置措施的执行机关需根据具体案件的性质和相关法律法规来确定。在监察机关调查的严重职务违法和职务犯罪案件中，由监察机关依法执行留置措施；而在公安机关处理的治安或刑事案件中，则可能由公安机关执行相应的强制措施。无论由哪个机关执行，都应严格遵循法定程序，确保被调查人或嫌疑人的合法权益得到保障。
如果您对留置措施的执行机关或相关程序有进一步的疑问，或者您正面临与留置措施相关的法律问题，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况，提供详细的法律解释和建议。