结论：劳动合同自然到期，公司不想续约的，在大多数情况下是需要支付经济补偿的，但也存在无需支付经济补偿的例外情形。下面我将从不同角度为您详细分析。
需支付经济补偿的情况
公司主动不续签劳动合同：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条第五项规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止固定期限劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 举例：假设您在公司工作了3年6个月，劳动合同到期公司不想续签，那么公司需要支付您4个月工资作为经济补偿（3年按3个月计算，6个月按1个月计算）。
公司降低劳动条件续签，劳动者不同意：
- 如果公司在续签合同时降低了原有的劳动条件（如降低工资、恶化工作环境等），导致劳动者不愿意续签，公司同样需要支付经济补偿。因为这种情况下劳动者的拒绝是基于公司提供的不合理条件，而非主观上不愿继续劳动关系。
无需支付经济补偿的情况
- 公司维持或提高劳动条件续签，劳动者不续签：
- 当公司维持或提高劳动合同约定的条件续签合同时，如果劳动者出于个人原因（如找到更好的工作机会、打算自主创业等）拒绝续签，那么公司就无需支付任何经济补偿。
特殊情况
连续工作满十五年且距退休不足五年：
- 如果员工在本单位连续工作满十五年，并且距离法定退休年龄不足五年，除非员工存在严重违反公司规章制度等法定过错情形，否则公司不能以合同到期为由终止劳动合同。若公司违法终止，员工有权要求公司按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
劳动者存在不得解除劳动合同的情形：
- 如劳动者处于工伤、医疗期等特殊保护期间，即使劳动合同期满，公司也不能随意终止劳动合同，而应续延至相应情形消失时为止。若公司违法终止，同样需支付二倍经济补偿金作为赔偿。
建议：
- 如果您面临劳动合同到期公司不想续签的情况，首先确认公司是否维持或提高了原有的劳动条件。如果公司降低了条件或未维持原有条件，您有权要求公司支付经济补偿。
- 如果您对公司是否支付经济补偿存在疑问，或者公司拒绝支付经济补偿，您可以与公司进行协商，或者向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。
如果您还有其他关于劳动纠纷或劳动合同方面的问题，欢迎直接向我咨询，我会为您提供专业的法律解答。