机关单位追责问责的方式主要包括组织处理类、纪律处分类以及法律责任追究三大类，具体方式如下：
一、组织处理类问责方式
责令公开道歉：
- 适用情形：当机关单位或其工作人员的行为对公民、法人或其他组织的合法权益造成不良影响时，需通过公开方式，如媒体发布、官方声明等，向受影响方表达歉意。
- 示例：若某政府部门在处理某事件时存在不当行为，引发公众不满，该部门可能会被责令公开道歉，以恢复政府公信力和民众信任。
停职检查：
- 适用情形：对于问题较为严重但尚未达到撤职程度的情况，可暂时停止问责对象的职务，要求其进行自我反思和检查，并提交检查报告。
- 示例：若某官员被举报存在违规行为，为保证调查的公正性和顺利进行，可能会对其作出停职检查的决定。
引咎辞职与责令辞职：
- 适用情形：问责对象因工作严重失误、失职造成重大损失或恶劣影响，应主动提出辞职；若不主动辞职，上级机关将责令其辞职。
- 示例：在重大安全事故中，若相关领导干部认为自己在工作中有不可推卸的责任，可能会选择主动引咎辞职；若其不主动辞职，上级机关可能会责令其辞职。
免职：
- 适用情形：对于不再适合担任现职的问责对象，按照法定程序免去其职务。免职后，根据其表现和问题处理结果，可能重新安排工作。
- 示例：若某官员因严重违法违纪行为不再适合担任现有职务，会被予以免职。
暂停或建议暂停公职：
- 适用情形：在涉嫌严重违纪违法的情况下，可暂时停止相关人员的公职，或向有关机关提出暂停其公职的建议，以确保调查顺利进行。
- 示例：若某公职人员涉嫌严重违纪违法，正在接受调查，可能会被暂停公职。
二、纪律处分类问责方式
警告：
- 适用情形：对犯有轻微错误或存在一定违纪行为的行政人员提出的警示和告诫。
- 示例：若某行政人员因工作疏忽导致轻微失误，可能会受到警告处分。
记过与记大过：
- 适用情形：适用于违纪行为较为严重但仍可继续任职的行政人员。
- 示例：若某行政人员因违纪行为受到较严重批评，可能会被记过或记大过。
降级：
- 适用情形：降低受处分行政人员的级别及相应工资待遇。
- 示例：若某行政人员因严重违纪行为被降级处理，其级别和工资待遇将相应降低。
撤职：
- 适用情形：撤销受处分人员所担任的职务，并降低其级别。通常适用于严重违法违纪、给国家和人民利益造成重大损失的情况。
- 示例：若某官员因严重违法违纪行为被撤职，其职务和权力将被取消。
开除：
- 适用情形：最严厉的纪律处分，意味着受处分人员与行政机关的人事关系被解除，不再具有公务员身份。
- 示例：若某行政人员因严重违法违纪行为被开除，其将失去公务员身份。
三、法律责任追究
- 适用情形：若机关单位或其工作人员的行为触犯刑法，将依法追究相关责任人的刑事责任。
- 示例：若某官员因贪污受贿行为被查处，且其行为构成犯罪，将依法追究其刑事责任。
在实际操作中，机关单位追责问责的方式会根据具体情况进行选择和组合，以达到既惩处错误又促进改进的目的。如果你或你所在的机关单位面临追责问责的问题，或者对追责问责的方式有进一步的疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。