结论概述：
在自家狗咬人并已经赔偿后，对方要求打死狗的行为是否合法，需根据具体情况判断。若对方行为构成正当防卫或紧急避险，则无需赔偿；若构成防卫过当或恶意伤害，则可能需要赔偿。同时，作为狗主人，您已承担了咬人事件的赔偿责任，但对方无权私自打死您的狗。
详细分析：
正当防卫与紧急避险：
- 正当防卫：如果狗在咬人时，对方为了保护自己的生命健康安全，采取必要的措施将狗打死，这属于正当防卫行为。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，正当防卫是免责事由，因此您不能要求对方对打死狗的行为进行赔偿。例如，狗突然冲出来扑向路人并撕咬，路人在没有其他办法躲避的情况下，用身边的工具将狗制服或打死，此时路人的行为属于正当防卫。
- 紧急避险：若对方在面临狗的直接威胁，且无法通过其他合理方式避免危险时，打死狗以保护自身安全，也可能构成紧急避险，同样无需承担赔偿责任。
防卫过当：
- 如果狗已经停止咬人等侵害行为，或者其侵害行为明显减弱、不再具有现实危险性时，对方仍然将狗打死，这种行为可能超出了必要的限度，构成防卫过当。在这种情况下，对方可能需要对您的损失进行一定的赔偿。赔偿金额会根据狗的价值、双方的过错程度等因素综合确定。
对方恶意伤害：
- 如果对方并非出于自卫或紧急避险的需要，而是恶意伤害您的狗，那么您可以向对方主张侵权责任，要求其赔偿您的损失。这包括狗的市场价值、养殖成本以及因狗死亡导致的其他合理损失。
您已承担的责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十五条，饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任。您已经对被咬者进行了赔偿，这是您作为狗主人应尽的法律责任。然而，这并不意味着对方有权私自打死您的狗。
法律建议：
- 与对方沟通：首先，尝试与对方进行沟通，解释您已经承担了咬人事件的赔偿责任，并询问对方打死狗的具体原因。如果对方的行为确实超出了正当防卫或紧急避险的范畴，您可以要求对方停止侵权行为，并考虑通过法律途径维护自己的权益。
- 收集证据：如果对方坚持要打死您的狗，或者已经实施了打死狗的行为，您应尽快收集相关证据，如现场照片、视频、证人证言等，以便在后续的法律程序中证明自己的权益。
- 寻求法律帮助：如果无法与对方达成和解，或者对方的行为已经给您造成了损失，您可以向我咨询具体的法律程序和维权策略。我将根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议和支持。
可能后果：
- 如果对方的行为被认定为正当防卫或紧急避险，您将无法要求对方赔偿狗的损失。
- 如果对方的行为被认定为防卫过当或恶意伤害，您有权要求对方赔偿您的损失，并可能通过法律途径追究对方的法律责任。
总之，在处理这类问题时，您应综合考虑各种因素，包括双方的过错程度、损害后果以及相关法律法规的规定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。