结论：您作为美容店员工，在顾客从您手里办理洗脸卡后，因老板关店跑路而被顾客要求退钱的情况，您是否需要承担退款责任，主要取决于您与顾客之间的法律关系以及您在销售过程中的角色和权限。以下是从不同角度进行的分析：

1. 您作为员工，与顾客之间不构成直接合同关系：

   • 通常情况下，顾客在美容店办理洗脸卡，是与美容店（即老板或经营者）之间形成了服务合同关系。您作为员工，只是代表美容店与顾客进行交易，并非合同的一方当事人。
   • 因此，从合同相对性的角度来看，顾客应向美容店（老板）主张退款，而非向您个人主张。

2. 若您存在过错或超出权限行为，可能需要承担一定责任：

   • 如果您在销售洗脸卡的过程中存在欺诈、误导顾客等行为，或者您超出了美容店赋予您的销售权限（如未经授权承诺退款等），那么您可能需要对顾客承担一定的赔偿责任。
   • 但这种情况下，您承担的责任通常是基于您的过错或超出权限的行为，而非基于您与顾客之间的合同关系。

3. 顾客应如何维权：

   • 顾客应首先尝试联系美容店的老板或经营者，要求退款或提供其他解决方案。
   • 如果无法联系到老板或经营者，顾客可以向当地消费者协会投诉，或者向法院提起诉讼，要求美容店（或老板）承担退款责任。
   • 在诉讼过程中，顾客需要提供相关证据（如洗脸卡、付款凭证、与美容店的沟通记录等）来证明其与美容店之间的服务合同关系以及美容店未履行合同义务的事实。

4. 您作为员工的应对建议：

   • 您可以向顾客解释您与美容店之间的雇佣关系，以及您并非合同的一方当事人，因此无法直接承担退款责任。
   • 您可以建议顾客通过上述途径向美容店（或老板）主张权利，并提供必要的协助（如提供美容店的联系方式、相关交易记录等）。
   • 如果您担心自己可能因销售行为而承担法律责任，您可以咨询专业律师，了解自己的法律风险和应对策略。

后续行动建议：

• 如果您面临顾客的持续追讨或法律纠纷，建议您及时收集并保留相关证据（如工作证、劳动合同、销售记录、与顾客的沟通记录等），以证明您与美容店之间的雇佣关系以及您在销售过程中的行为。
• 如有需要，您可以随时向我咨询相关法律问题，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。