结论概述： 员工在提离职后到期却不走，公司是否有责任需视具体情况而定。一般来说，若员工已按法定程序提出离职且到期，公司不应强制其继续工作，但员工若未完成交接等义务，公司可依法处理。同时，若员工的行为给公司造成损失，公司有权要求赔偿。

详细分析：

1. 员工离职的法定程序：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，员工离职通常需提前三十日以书面形式通知用人单位（试用期员工需提前三日）。这是员工离职的法定程序，旨在保障用人单位有足够的时间进行人员调整和工作交接。
   • 若员工已按法定程序提出离职，并在离职通知期满后要求离职，公司原则上应予以批准，并办理离职手续。

2. 员工到期不走的情况：

   • 若员工在离职通知期满后仍继续留在公司工作，且未与公司达成继续工作的协议，这通常被视为员工违反了离职的约定。
   • 在这种情况下，公司不应强制员工继续工作，但可以要求员工完成必要的交接工作，并办理离职手续。若员工拒绝完成交接或办理离职手续，公司可以依据公司规章制度或相关法律法规进行处理。

3. 公司的责任与权益：

   • 责任：公司无需对员工到期不走的行为承担直接责任，除非公司存在过错（如未按时支付工资、未提供必要的离职条件等）导致员工无法按时离职。
   • 权益：若员工的行为给公司造成了损失（如因未完成交接导致的工作延误、客户流失等），公司有权要求员工承担赔偿责任。公司可以通过协商、调解、仲裁或诉讼等途径来维护自己的合法权益。

4. 特殊情况下的处理：

   • 若员工在离职通知期满后因特殊原因（如突发疾病、家庭变故等）无法按时离职，且已与公司沟通并获得谅解，公司可以视情况给予一定的宽限期。
   • 若员工在离职后仍继续在公司工作，且双方未就继续工作达成新的协议，这可能构成事实劳动关系。在这种情况下，公司应尽快与员工明确劳动关系状态，并办理相应的手续。

建议与行动指南：

• 对于公司：

  • 在员工提出离职时，及时与员工沟通并确认离职日期和交接事宜。
  • 若员工到期不走，及时与员工沟通并了解原因，若员工无正当理由拒绝离职，公司可以依据公司规章制度或相关法律法规进行处理。
  • 若员工的行为给公司造成了损失，及时收集证据并准备通过法律途径维护自己的权益。

• 对于员工：

  • 在提出离职时，应遵守法定程序并提前与公司沟通离职事宜。
  • 若因特殊原因无法按时离职，应及时与公司沟通并获得谅解。
  • 若公司存在过错导致无法按时离职，可以与公司协商解决或通过法律途径维护自己的权益。

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