结论：断绝亲子关系在法律上并不被承认，因此父亲犯罪在一般情况下仍可能影响儿子考公，但具体影响程度需视犯罪类型、时间及儿子个人情况等因素而定。
详细分析：
法律上不存在“断绝亲子关系”：
- 在我国法律体系中，亲子关系是基于血缘或法律程序（如收养）而建立的，一旦确立，除非通过法律程序（如解除收养关系）来改变，否则无法单方面“断绝”。因此，即便双方声明“断绝亲子关系”，这种声明在法律上并不具有效力，亲子关系依然存在。
父亲犯罪对儿子考公的影响：
- 政审环节：考公过程中，政审是一个重要环节，它主要考察考生的政治素质、道德品质、遵纪守法情况等。在政审中，考生的家庭背景，包括直系亲属的犯罪记录，可能会成为考察的内容之一。
- 影响程度：父亲犯罪对儿子考公的影响程度并非绝对，而是取决于多种因素，如犯罪的性质（是故意犯罪还是过失犯罪）、犯罪的时间（是否在儿子成长的关键时期）、儿子个人的表现（是否受到父亲犯罪的影响，是否有良好的道德品质和遵纪守法记录）等。
- 特殊情况：如果父亲犯罪时儿子尚未成年，且儿子因此受到了较大影响（如家庭经济困难、心理创伤等），这些情况在政审时可能会被考虑，但并不意味着儿子一定无法通过政审。相反，如果儿子能够证明自己未受父亲犯罪影响，且具备良好的政治素质和道德品质，仍有可能通过政审。
建议与措施：
- 如实申报：在考公过程中，如果政审环节要求申报家庭背景，儿子应如实申报父亲的犯罪记录，不要隐瞒或谎报。
- 准备证明材料：为了证明自己未受父亲犯罪影响，儿子可以准备相关证明材料，如学校出具的表现证明、社区出具的品德评价等。
- 积极沟通：在政审过程中，儿子可以积极与政审人员沟通，解释自己的情况，表达自己对考公的渴望和决心。
总结与进一步思考：
父亲犯罪对儿子考公的影响是一个复杂而敏感的问题，它涉及到法律、道德、社会等多个层面。虽然法律上不存在“断绝亲子关系”的说法，但父亲犯罪确实可能对儿子的政审产生一定影响。然而，这种影响并非绝对，而是取决于多种因素的综合作用。因此，如果你或你的家人面临类似情况，建议保持冷静、如实申报、积极准备证明材料，并与政审人员积极沟通。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。