参与办案的民警私下联系并威胁嫌疑人家属，这一行为主要违反了以下规定：

1. 违反执法程序规定：

   • 民警在办案过程中，应当遵循法定的程序和规定，确保执法活动的公正性和合法性。私下联系并威胁嫌疑人家属，显然违背了正常的执法程序，可能干扰了案件的公正处理，损害了执法机关的公信力。

2. 违反职业道德和纪律要求：

   • 民警作为执法者，应当秉持公正、廉洁、文明的职业道德，尊重和保护当事人的合法权益。私下威胁嫌疑人家属，不仅违反了职业道德，也严重损害了警察队伍的形象和声誉。根据《公安机关人民警察纪律条令》等相关规定，民警不得有威胁、打击报复等违法行为，否则将受到相应的纪律处分。

3. 可能构成滥用职权或徇私枉法：

   • 如果民警的威胁行为是为了达到某种不正当目的，如迫使嫌疑人家属放弃某些权利或配合其非法行为，那么这种行为可能构成滥用职权或徇私枉法。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，滥用职权罪和徇私枉法罪都是严重的犯罪行为，将受到法律的严厉制裁。

法律后果与建议：

• 法律后果：对于民警的私下威胁行为，如果查证属实，将依法受到纪律处分或刑事处罚。同时，受害人家属也有权向相关部门投诉或举报，要求追究民警的法律责任。
• 建议：
  • 保留证据：嫌疑人家属在遭遇此类威胁时，应尽可能保留相关证据，如通话记录、短信、录音等，以便后续维权。
  • 及时投诉：向公安机关的督察部门或上级机关投诉，要求对涉事民警进行调查处理。
  • 寻求法律援助：如有必要，可以寻求专业律师的帮助，通过法律途径维护自己的合法权益。

额外提醒：

• 在整个过程中，嫌疑人家属应保持冷静和理性，避免与民警发生直接冲突或激化矛盾。
• 同时，也要了解自己的权利和义务，积极配合公安机关的调查工作，但不应被威胁或胁迫做出不利于自己的陈述或行为。

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