当行政复议的当事人在复议期间或复议成功后被刑拘时，案件的处理方式会涉及多个法律层面和步骤。以下是对此问题的详细解答：
一、理解行政复议与刑拘的关系
首先，需要明确的是，行政复议是针对行政机关的具体行政行为（如拘留决定）提出的法律救济途径，而刑拘则是刑事诉讼中的一种强制措施，两者性质不同。若当事人在行政复议期间或之后被刑拘，这通常意味着当事人可能涉及刑事犯罪，与之前的行政拘留决定无直接关联，但行政复议的结果可能对后续处理产生影响。
二、行政复议成功后的处理
若行政复议成功，原行政行为（如拘留决定）可能被撤销、变更或确认为违法。此时，若当事人已被执行行政拘留，可依据以下步骤维护自身权益：
申请国家赔偿：
- 法律依据：根据《中华人民共和国国家赔偿法》第三条，若行政机关及其工作人员违法行使行政职权，造成公民人身自由受限，受害人有权申请国家赔偿。
- 申请流程：
- 向赔偿义务机关（即作出原行政行为的机关）提出书面申请，也可在申请行政复议时一并提出。
- 赔偿义务机关应在收到申请之日起两个月内作出是否赔偿的决定。
- 若赔偿义务机关未在规定期限内作出决定，或当事人对决定有异议，可向人民法院提起诉讼要求赔偿。
消除不良记录与维护个人名誉：
- 要求相关机关消除因错误拘留产生的不良记录，如在公安机关的记录系统中去除不必要的拘留记录。
- 若错误拘留行为对当事人的名誉造成了损害，可要求侵权机关采取措施消除影响，恢复名誉，如发布公开声明、更正记录等。
- 若协商不成，可通过提起民事诉讼的方式，要求行政机关承担相应的民事责任。
三、刑拘情况下的处理
若当事人在行政复议期间或之后被刑拘，且该刑拘与之前的行政拘留决定无直接关联，则需按照刑事诉讼程序处理：
配合刑事调查：
- 当事人应配合公安机关的刑事调查，如实陈述事实，提供相关证据。
寻求法律援助：
- 及时聘请专业律师，了解自身权利，制定辩护策略，确保合法权益得到有效维护。
关注行政复议结果的影响：
- 若行政复议结果对刑事案件的处理有影响（如原行政拘留决定被撤销可能影响对当事人的刑事评价），应及时向刑事诉讼机关说明情况。
四、后续法律救济措施
监督履行复议决定：
- 若复议决定作出后，执行机关未及时或拒绝履行复议决定，导致当事人继续被拘留（若该拘留与复议决定相关），可向复议机关申请监督或责令原执行机关履行复议决定。
行政诉讼：
- 若对复议结果不满，或复议机关未能在法定期限内作出复议决定，可向人民法院提起行政诉讼。
保持冷静与理性：
- 在整个过程中，当事人应保持冷静、理性，避免采取过激行为，以免对自身权益造成不利影响。
五、总结与建议
当行政复议的当事人在复议期间或之后被刑拘时，应首先明确刑拘与行政复议的关系，然后根据具体情况采取相应的法律措施。建议当事人及时聘请专业律师，了解自身权利，制定合适的法律策略，以确保合法权益得到有效维护。同时，保持冷静与理性，积极配合相关机关的调查与处理工作。