在工作期间出现事故，双方的处理方式主要取决于事故双方之间的法律关系以及事故发生的具体情况。以下是一些详细的处理步骤和原则：
一、确定法律关系
首先，需要明确事故双方之间是劳动关系还是劳务关系。
劳动关系：如果双方签订了劳动合同，建立了劳动关系，那么劳动者在工作过程中发生的伤亡事故，一般会被认定为工伤。根据《工伤保险条例》等相关法律法规，工伤事故的损害赔偿适用无过错原则，即使用人单位没有过错，也应当对遭受工伤的劳动者承担赔偿责任。
劳务关系：如果双方之间是劳务关系，即平等主体的自然人之间、法人之间或自然人与法人之间以提供劳务为内容而签订的协议，那么提供劳务者在提供劳务过程中遭受的人身损害，一般按照《中华人民共和国民法典》侵权责任编的有关规定处理，适用过错责任原则。这意味着，损害事故的发生如果全部是由提供劳务者的过错（故意和过失）产生的，那么由提供劳务者自己承担责任；如果劳务关系主体对事故发生均有过错，那么由双方按照各自的过错程度承担赔偿责任；对于事故发生没有过错的，则不承担赔偿责任。
二、事故处理步骤
立即报告：无论事故双方是劳动关系还是劳务关系，一旦发生事故，都应立即报告给相关部门或负责人，以便及时采取措施防止事故扩大，并保护现场以便后续调查。
调查事故原因：相关部门或负责人应组织对事故原因进行调查，明确事故责任。这可能包括查看监控录像、询问目击者、检查设备等。
协商赔偿：根据事故原因和双方的法律关系，双方可以协商赔偿事宜。在劳动关系中，用人单位应按照工伤保险的相关规定进行赔偿；在劳务关系中，双方应根据各自的过错程度协商赔偿比例和金额。
法律途径：如果双方无法就赔偿事宜达成一致，可以通过法律途径解决。在劳动关系中，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼；在劳务关系中，双方可以向人民法院提起诉讼，由法院根据事实和法律进行判决。
三、具体案例参考
以您提供的案例为例，穆某某和田某某均受雇于某公司，二人在工作过程中发生事故导致穆某某受伤。由于穆某某和田某某与某公司之间均为劳务合同关系，因此法院根据双方的过错程度进行了责任分担。某公司作为接受劳务者未尽到安全管理和保障责任，对穆某某受伤存在过错，因此承担了80%的赔偿责任；而穆某某作为提供劳务者未尽到自身安全注意义务，也承担了一定责任（20%）。
四、建议
加强安全教育：用人单位应加强对员工的安全教育，提高员工的安全意识和自我保护能力。
完善安全管理制度：用人单位应建立完善的安全管理制度，明确安全责任，加强安全检查，及时发现和消除安全隐患。
及时购买保险：用人单位可以考虑为员工购买工伤保险或其他相关保险，以减轻在事故发生时的经济负担。
依法处理事故：在事故发生后，双方应依法处理事故，避免采取过激行为或逃避责任。
综上所述，工作期间出现事故双方的处理方式主要取决于法律关系和事故具体情况。在处理过程中，双方应保持冷静、理性，依法协商或寻求法律途径解决争议。