结论：私家车在与的士发生碰撞且被认定为承担40%责任的情况下，确实需要赔偿的士因事故导致的误工费，但赔偿比例应为40%。
法律背景与解释：
误工费的定义与性质：
- 误工费是指因交通事故导致受害人（在此为的士司机）无法正常工作而减少的收入。它属于因交通事故造成的直接经济损失，依法应由责任方进行赔偿。
责任比例与赔偿原则：
- 在交通事故中，责任比例是确定赔偿金额的重要依据。根据《中华人民共和国道路交通安全法》及相关司法解释，责任方应按照其过错程度对受害人的损失进行赔偿。
- 在本案例中，私家车被认定为承担40%的责任，因此它应赔偿的士司机因事故导致的误工费的40%。
误工费的计算方法：
- 误工费的计算通常基于受害人的实际收入损失。如果的士司机有固定的月收入，误工费可以按照其月收入除以30天（或实际工作日）再乘以误工天数来计算。
- 如果的士司机没有固定收入，但能提供最近三年的平均收入证明，误工费可以按照其平均收入来计算。
- 如果无法提供上述证明，可以参照当地相同或者相近行业上一年度职工的平均工资来计算。
计算公式（以固定月收入为例）：
[
\text{误工费} = \left( \frac{\text{月收入}}{30} \right) \times \text{误工天数} \times 40\%
]
其中，40%为私家车的责任比例。
- 实际赔偿流程：
- 在实际操作中，的士司机需要提供相关的误工证明，如医院出具的病假条、单位出具的误工证明等，以证明其因事故导致的误工时间和收入损失。
- 私家车车主或其保险公司在核实这些证明后，应按照责任比例赔偿的士司机的误工费。
建议与注意事项：
- 如果双方对误工费的计算或责任比例有争议，可以通过协商、调解或诉讼等方式解决。
- 在处理此类事故时，建议私家车车主及时与保险公司沟通，确保赔偿流程顺利进行。
- 如果的士司机提供的误工证明不充分或存在疑问，私家车车主有权要求其提供更详细的证明或进行进一步的核实。
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