核心结论：面对老师要求提供私生子爸爸信息的情况，您可以根据自身意愿和实际情况，选择提供或不提供信息，同时注意保护孩子的隐私和权益。以下是具体分析和建议：

1. 从法律义务角度：

   • 在法律上，您并没有绝对的义务必须向老师提供私生子父亲的信息。孩子的隐私权受法律保护，包括其生父信息在内的个人隐私，不应被随意泄露或要求提供。
   • 如果老师的要求没有合理的教育管理目的，或者超出了必要的范围，您有权拒绝提供。

2. 从教育管理角度：

   • 老师可能出于了解孩子家庭背景、更好地进行教育管理的目的而要求提供信息。在这种情况下，您可以与老师进行沟通，解释您的顾虑和孩子的隐私权，寻求其他了解孩子情况的方式，如通过与孩子直接交流、观察孩子在校表现等。
   • 如果老师坚持要求提供，并且您认为这一要求不合理，您可以向学校管理层反映情况，寻求他们的协助和支持。

3. 从保护孩子角度：

   • 无论您是否提供父亲的信息，都应优先考虑孩子的感受和利益。如果孩子对父亲的信息敏感或不愿意提及，您应尊重孩子的意愿，避免在孩子面前讨论或透露相关信息。
   • 同时，您可以与孩子进行沟通，了解他们的想法和感受，给予他们足够的关爱和支持，帮助他们健康成长。

4. 实际操作建议：

   • 在与老师沟通时，保持冷静和理性，明确表达您的立场和顾虑。
   • 如果老师的要求让您感到不适或困扰，您可以考虑书面形式（如邮件、信件）与老师或学校沟通，以便留下记录并更好地表达自己的观点。
   • 如果情况严重或无法得到妥善解决，您可以考虑寻求法律援助或咨询相关机构（如教育部门、妇女儿童保护机构等）以维护自己和孩子的权益。