结论：公安局将材料交检察院后，检察院决定是否逮捕凶手（犯罪嫌疑人）主要依据的是是否存在逮捕的法定理由。如果不存在这些法定理由，检察院通常不会批准逮捕。以下是不逮捕的常见理由及详细解释：

一、不逮捕的常见理由

1. 证据不足：

   • 解释：如果检察院认为公安机关提交的证据不足以证明犯罪嫌疑人有犯罪事实，或者证据之间存在矛盾，无法形成完整的证据链，那么检察院可能会决定不批准逮捕。
   • 例子：比如，在一起故意伤害案中，虽然有人指认犯罪嫌疑人，但现场没有监控录像，且没有其他目击证人，伤者的伤情鉴定也存在疑问，这种情况下，检察院可能会认为证据不足，不批准逮捕。

2. 犯罪情节轻微：

   • 解释：根据《刑事诉讼法》的相关规定，对于犯罪情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或者免除刑罚的，检察院可以决定不批准逮捕。
   • 例子：比如，在一起盗窃案中，犯罪嫌疑人盗窃的财物价值较小，且是初犯、偶犯，有悔罪表现，那么检察院可能会认为犯罪情节轻微，不批准逮捕。

3. 可能判处徒刑以下刑罚：

   • 解释：如果检察院认为犯罪嫌疑人可能被判处拘役、管制、单处罚金等徒刑以下刑罚，那么也可以决定不批准逮捕。
   • 例子：比如，在一起交通肇事案中，犯罪嫌疑人虽然造成了交通事故，但情节较轻，且已经积极赔偿了受害人的损失，取得了受害人的谅解，那么检察院可能会认为可能判处徒刑以下刑罚，不批准逮捕。

4. 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女：

   • 解释：对于这些特殊情况的犯罪嫌疑人，检察院可以决定不批准逮捕，以体现人道主义关怀。
   • 例子：比如，犯罪嫌疑人是一名患有严重心脏病的孕妇，那么检察院可能会考虑其身体状况和怀孕情况，决定不批准逮捕。

5. 符合取保候审、监视居住条件：

   • 解释：如果犯罪嫌疑人符合取保候审或者监视居住的条件，且采取这些措施不致发生社会危险性，那么检察院也可以决定不批准逮捕。
   • 例子：比如，犯罪嫌疑人是一名企业高管，有固定住所和稳定的工作，且愿意提供担保人或者缴纳保证金，那么检察院可能会认为其符合取保候审条件，不批准逮捕。

二、检察院决定不逮捕后的处理

如果检察院决定不批准逮捕，公安机关应当立即释放犯罪嫌疑人，并且将执行情况及时通知检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，公安机关可以依法取保候审或者监视居住。

三、建议

1. 对于犯罪嫌疑人及其家属：如果收到不批准逮捕的决定，应当积极配合公安机关和检察院的工作，遵守相关规定，确保案件的顺利进行。
2. 对于被害人：如果认为检察院的决定有误，可以向检察院提出申诉或者向上一级检察院申请复议，以维护自己的合法权益。

最后，每个案件的具体情况都有所不同，检察院在决定是否逮捕时也会综合考虑多种因素。如果您或您身边的人遇到相关问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况为您提供专业的法律建议。