企业修改制度时履行民主程序是确保规章制度合法有效、保障劳动者权益的重要环节。以下是企业修改制度时应如何履行民主程序的详细解答：

一、明确需要履行民主程序的规章制度范围

根据《劳动合同法》第四条的规定，企业在制定、修改或决定以下直接涉及劳动者切身利益的规章制度或重大事项时，必须履行民主程序：

• 劳动报酬
• 工作时间
• 休息休假
• 劳动安全卫生
• 保险福利
• 职工培训
• 劳动纪律
• 劳动定额管理

二、履行民主程序的具体步骤

1. 立项阶段：

   • 企业管理层应对企业现状进行全面分析，识别出哪些制度需要修改或新增。
   • 评估修改或新增制度的必要性，并考虑邀请专业人士提供技术支持和操作指导。

2. 起草阶段：

   • 根据立项阶段的决策，具体撰写制度内容。
   • 确保制度内容不违反国家法律法规，同时结合企业自身特点和实际需要。
   • 考虑制度的实际操作性和员工的接受程度，确保制度既合理又可行。

3. 讨论阶段：

   • 将起草好的规章制度提交给有关部门、职工代表大会或全体职工进行讨论。
   • 与工会或职工代表进行平等协商，充分听取和吸纳他们的意见和建议。
   • 根据讨论结果对制度进行必要的修改和调整，确保制度更加完善。

4. 公示阶段：

   • 将最终确定的规章制度进行公示，确保所有劳动者都能了解制度内容。
   • 公示方式可以包括企业内部公告、邮件通知、员工手册等，确保公示的广泛性和有效性。
   • 公示期应合理设置，以便劳动者有足够的时间了解并反馈意见。

三、注意事项

1. 平等协商：在讨论阶段，企业应与工会或职工代表进行平等协商，尊重他们的意见和建议，不得单方面决定制度内容。

2. 合法合规：制度内容必须符合国家法律法规的规定，不得侵犯劳动者的合法权益。同时，制度也应符合社会公德和公序良俗。

3. 及时更新：随着企业的发展和法律环境的变化，规章制度也需要相应地进行调整、补充和更新。企业应定期审查制度内容，确保其始终符合法律法规的要求和企业的实际需要。

4. 保留证据：在履行民主程序的过程中，企业应保留好相关证据，如会议记录、讨论意见、公示照片等，以便在需要时证明制度的合法性和有效性。

四、案例分析

以浙江省某供水有限公司为例，该公司在制定新的企业内部规章制度时，未邀请职工代表参与讨论，也未与工会或职工代表进行平等协商，导致制度内容引发争议。这正是因为该公司未履行民主程序，使得规章制度缺乏合法性和有效性。因此，企业在修改制度时，必须严格履行民主程序，确保制度的合法性和合理性。

综上所述，企业修改制度时履行民主程序是确保规章制度合法有效、保障劳动者权益的重要环节。企业应按照立项、起草、讨论、公示的步骤进行，并注意平等协商、合法合规、及时更新和保留证据等事项。