结论：在私生子没有证据证明身份的情况下，婚生子原则上可以拒绝进行亲子鉴定，但需注意可能面临的法律后果及特殊情况。以下从多个角度进行详细分析：
一、婚生子拒绝亲子鉴定的权利基础
个人隐私与身体权保护：
- 婚生子作为独立的个体，享有个人隐私和身体权。亲子鉴定涉及个人身体信息的提取，属于个人隐私范畴。因此，婚生子有权拒绝未经其同意的亲子鉴定，以保护其个人隐私和身体权不受侵犯。
法律无强制规定：
- 在我国现行法律中，并没有明确规定婚生子必须配合进行亲子鉴定。除非在特定法律程序中，如涉及继承、抚养等纠纷，且法院认为有必要进行亲子鉴定以查明事实真相时，才可能通过法律程序强制进行。但即便如此，也需遵循严格的法律程序和条件。
二、婚生子拒绝亲子鉴定可能面临的法律后果
在继承纠纷中的影响：
- 如果私生子主张继承权，而婚生子拒绝进行亲子鉴定，可能导致法院无法直接确认私生子的身份。然而，这并不意味着私生子无法继承遗产。根据《民法典》的相关规定，非婚生子女与婚生子女享有同等的继承权。如果私生子能够提供其他证据证明其与被继承人的亲子关系，如出生证明、证人证言等，法院仍可能认定其继承权。
在抚养纠纷中的影响：
- 如果私生子主张抚养费，而婚生子拒绝进行亲子鉴定，同样可能导致法院无法直接确认亲子关系。但私生子仍可通过其他途径证明亲子关系，如提供共同生活的证据、证人证言等。如果法院最终认定亲子关系存在，婚生子（或其父母，视具体情况而定）可能需要承担抚养费支付义务。
三、特殊情况下的亲子鉴定
法院认为必要时：
- 在涉及继承、抚养等纠纷的诉讼中，如果法院认为亲子鉴定对于查明事实真相至关重要，且其他证据不足以证明亲子关系时，可能会通过法律程序强制进行亲子鉴定。但这种情况较为罕见，且需遵循严格的法律程序和条件。
婚生子自愿配合：
- 如果婚生子出于自愿或出于其他考虑（如维护家庭和谐、避免法律纠纷等）愿意配合进行亲子鉴定，那么这是其个人选择，法律并不禁止。
四、建议与措施
保护个人隐私：
- 婚生子在面对亲子鉴定请求时，应首先考虑保护自己的个人隐私和身体权。如果不同意进行亲子鉴定，可以明确表达自己的意愿，并了解相关法律后果。
寻求法律帮助：
- 如果婚生子面临亲子鉴定请求，且不确定如何应对时，可以寻求专业律师的帮助。律师可以提供法律咨询和代理服务，帮助婚生子维护自己的合法权益。
收集其他证据：
- 如果私生子主张继承权或抚养费等权益，婚生子可以积极收集其他证据来证明或反驳亲子关系。这些证据可能包括出生证明、证人证言、共同生活证据等。
最后，在私生子没有证据证明身份的情况下，婚生子原则上可以拒绝进行亲子鉴定。但需注意可能面临的法律后果及特殊情况。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。