在法院鉴定不能、撤诉后自行委托鉴定，再次起诉时，该鉴定意见能否被支持，需分情况讨论：
一、鉴定意见的合法性与关联性
合法性：
- 自行委托的鉴定机构及鉴定人需具备相应的资质。根据《全国人民代表大会常务委员会关于司法鉴定管理问题的决定》等相关规定，鉴定机构和鉴定人必须依法登记并取得相应资质，否则其出具的鉴定意见可能因主体不合法而不被采信。
- 鉴定程序需合法。鉴定过程应遵循科学、客观、公正的原则，确保鉴定步骤、方法符合行业规范。若鉴定程序存在瑕疵，如未按规定进行取样、检验等，可能影响鉴定意见的合法性。
关联性：
- 鉴定意见需与案件事实具有直接关联。即鉴定事项应明确指向案件中的争议焦点，如医疗损害中的过错认定、合同纠纷中的标的物质量等。若鉴定意见与案件事实无直接关联，则可能被视为无关证据而不予采信。
二、法院对自行委托鉴定意见的审查标准
审查鉴定机构的资质：
- 法院会首先审查鉴定机构是否具备相应的鉴定资质，以及鉴定人是否具备从事该鉴定事项的专业能力。若鉴定机构或鉴定人资质不符，鉴定意见可能被排除。
审查鉴定程序的合法性：
- 法院会详细审查鉴定过程是否遵循了科学、客观、公正的原则，以及是否符合行业规范。若鉴定程序存在严重瑕疵，如未按规定进行取样、检验等，鉴定意见可能被视为无效。
审查鉴定意见的合理性：
- 法院会结合案件事实和其他证据，对鉴定意见的合理性进行综合判断。若鉴定意见与案件事实明显不符，或存在其他不合理之处，法院可能不予采信。
三、不同情况下的处理建议
若自行委托的鉴定意见合法且关联：
- 在再次起诉时，你可以将该鉴定意见作为证据提交给法院。法院在审查后，若认为该鉴定意见合法、关联且合理，可能会予以采信，并作为认定案件事实的依据。
若自行委托的鉴定意见存在瑕疵：
- 若鉴定意见因主体不合法、程序瑕疵或与案件事实无直接关联等原因而存在瑕疵，法院可能不予采信。此时，你可以考虑在再次起诉前重新委托具备资质的鉴定机构进行鉴定，或申请法院委托鉴定，以确保鉴定意见的合法性和有效性。
对方提出异议时的应对：
- 若对方对自行委托的鉴定意见提出异议，并申请重新鉴定或要求鉴定人出庭作证，你应积极配合法院的审查工作，提供必要的证据和材料支持鉴定意见的合法性和关联性。同时，你也可以针对对方的异议提出反驳意见和证据，以维护自己的合法权益。
总结与建议：在法院鉴定不能、撤诉后自行委托鉴定的情况下，再次起诉时该鉴定意见能否被支持，取决于鉴定意见的合法性、关联性以及法院的审查标准。为确保鉴定意见的合法性和有效性，建议你在自行委托鉴定时选择具备相应资质的鉴定机构和鉴定人，并遵循科学、客观、公正的原则进行鉴定。若遇到法律难题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。