结论：在病假期间，如果劳动合同到期且员工仍处于医疗期内，公司应当将劳动合同续延至医疗期结束，此时公司不会直接发不续签的通知；若医疗期已结束，公司是否发续签劳动合同取决于多种因素，包括员工病情、用人单位意愿等。以下是对此问题的详细分析：
一、医疗期内的合同续延
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条和第四十五条的规定，劳动者在规定的医疗期内，用人单位不得解除劳动合同，且劳动合同期满的，应当续延至相应的情形消失时终止。这意味着，如果员工的医疗期尚未结束，即使劳动合同到期，公司也不能单方面终止合同，而是应将合同续延至医疗期结束。
实际操作：
- 在医疗期内，公司无需主动发出不续签的通知，因为合同已经自动续延。员工应继续享受病假待遇，包括工资支付、社保缴纳等。
- 公司应与员工保持沟通，了解病情及预计恢复时间，以便在医疗期结束后做出合理决策。
二、医疗期结束后的合同续签
员工病情：
- 如果员工病情较轻，预计能在短时间内康复并重新投入工作，公司可能会考虑在医疗期结束后与员工续签劳动合同。
- 如果员工病情严重或复杂，治疗后可能无法再从事原工作，公司可能会重新评估续签的必要性，并考虑是否提供其他适合的工作岗位。
用人单位意愿：
- 公司会基于自身的用工需求和管理规定来决定是否续签。如果认为员工康复后能胜任原工作且符合公司标准，则续签可能性大。
- 若公司认为员工无法满足用工要求，可能会选择不续签，但需依法支付经济补偿。
经济补偿的计算：
- 如果公司决定在医疗期结束后不与员工续签劳动合同，应依法向员工支付经济补偿。经济补偿的金额根据员工在本单位工作的年限来计算，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
- 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（工作年限满六个月不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资）。
三、员工与公司应对策略
员工方面：
- 积极配合治疗，争取早日康复。
- 及时向公司提供医院出具的诊断书、休假建议书等文件，确保医疗期的合法性。
- 与公司保持沟通，了解公司的续签意愿和条件，以便做出相应准备。
公司方面：
- 严格遵守法律法规，确保员工的合法权益得到保障。
- 在处理此类问题时，应综合考虑员工的病情、工作能力以及公司的用工需求和管理规定，做出合理决策。
- 如果决定不续签，应提前与员工沟通，并依法支付经济补偿。
四、风险提示与建议
风险提示：
- 公司如果违反法律规定，在医疗期内解除劳动合同或不续签合同，可能面临法律诉讼和赔偿风险。
- 员工如果认为公司行为违法，可以依法申请劳动仲裁或提起诉讼，维护自己的合法权益。
建议：
- 对于员工而言，应了解自己的医疗期权益，保留好相关证据材料，以便在需要时维护自己的权益。
- 对于公司而言，应完善相关规章制度，规范合同管理流程，避免因处理不当而引发法律风险。
总结与建议：在病假期间，如果劳动合同到期且员工仍处于医疗期内，公司应当将劳动合同续延至医疗期结束。医疗期结束后，公司是否发续签劳动合同取决于员工病情和用人单位意愿等多种因素。无论何种情况，公司和员工都应依法妥善处理合同续签问题，确保双方的权益得到妥善保护。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。